Peter, der korrekte Autofahrer: Änderungen von Funktionen
Von der Beschreibung des Ortes zur Änderung des Ortes
Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120km/h herrscht.
Nach einer Pause in Lüttich fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten De Panne (s. Abb.1). Am Ziel schaut Peter auf die Uhr: Er hat nur 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt und hat sich an das Tempolimit gehalten?
Untersuche dies mithilfe der Angaben von GoogleMaps und den Aufzeichnungen von Peters Fahrtenschreiber.
Vom Ort zur Geschwindigkeit
In Abbildung 2 siehst du den Orte/gefahrene Kilometer in Abhängigkeit zur Zeit. Punkt P(1|120) bedeutet zum Beispiel, dass Peter nach 1 Stunde 120km gefahren ist. Doch wie schnell war er jetzt durchschnittlich?
In der Unterstufe ist dir in Mathematik oder Physik sicher einmal die Formel begegnet. Das bedeutet: Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu berechnen, musst du nur die gefahrene Strecke durch die benötigte Zeit dividieren. Eventuell musst du noch die Einheiten umwandeln, um auf zu kommen.
1. Berechne Peters Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Strecke von 240km einmal selbst!
Abb. 2.1 Der Fahrtenschreiber: Lösung
Weitere Durchschnittsgeschwindigkeiten
Notiere erst die Lösungen zu 1. bevor du weitermachst (überprüfe, indem du "Lösung einblenden" anklickst).
Du hast jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit über den gesamten Zeitraum berechnet. Kommt dir die Formel zur Berechnung nicht etwas bekannt vor? Richtig! Hier wurde die durchschnittliche Änderung "durch ein Steigungsdreieck" bestimmt, dessen Steigung sich durch die Formel berechnen lässt! Das kennst du bereits von der mittleren Steigung.
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird die Änderung des Ortes durch die Änderung der Zeit dividiert, also .
2. Schau dir noch einmal den Graphen an und überlege, woran du erkennen kannst, dass Peter nicht mit gleichmäßiger Geschwindigkeit gefahren ist. Bevor du das nächste Applet benutzt: in welchen Bereichen ist er wohl besonders schnell / besonders langsam gefahren? Überlege vorher!
Nachdem du überlegt hast, nutzte jetzt das nächste Applet, um abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. Verwende dafür kleinere Steigunsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchende Stelle (=Zeit) und die größe des Steigungsdreiecks. Zoom auch ruhig in die Graphik rein!
Über den Knopf Lösung einblenden kannst du die Berechnungen einblenden.
3. Was verdeutlich das Steigungsdreieck im Kontext der Autofahrt von Peter? Was gibt "m" im Kontext an?
(Mit den Pfeilen rechts oben kannst du das Applet immer wieder in den Anfangszustand zurückversetzen, falls du zu viel gezoomt / verschoben hast.)
Abbildung 2.2: Genauere Untersuchung von Peters Fahrt
Schlussfolgerungen
- Die Änderung des Ortes in Relation zur Zeit (Strecke pro Zeit) ist die Geschwindigkeit!
- Mithilfe einer linearen Funktion (s. Steigungsdreieck) lassen sich ganzrationale Funktionen stückweise annähern! Die Steigung berechnet man durch die Steigungsformel ....
- Je .... das Steigungsdreieck, desto.... die Näherung!
- Ist der Graph tendenziell flacher, ist das Steigungsdreieck ...! Ist der Graph tendenziell steiler, ist das Steigungsdreieck ...!
- Im Fall von Peter hast du die mittlere Änderungsrate des Ortes untersucht: die Durchschnittsgeschwindigkeit
- Du hast sie mithilfe des Differenzenquotienten berechnet.
- Je... die Stellen beieinander liegen, desto ... nähert der Differenzenquotient die tatsächliche Steigung der Funktion!
- Ist die Funktion flacher, ist die Änderungsrate .... Ist die Funktions steiler, ist die Änderungsrate ....!
- Der Differenzenquotient () berechnet nur die mittlere Änderungsrate, nicht die exakte / momentane Änderungsrate!
Mittlere Änderungsrate
Die mittlere Steigung eines Berges und die Durchschnittsgeschwindigkeit, man spricht auch von "mittlerer Geschwindigkeit", bei zum Beispiel einer Autofahrt, sind mittlere Änderungsraten.
Mittlere Änderungsraten wie die mittlere Steigung und die mittlere Geschwindigkeit beziehen sich auf ein Intervall (Abschnitt) und nicht auf einen lokalen Punkt.
Die mittlere Änderungsrate (Steigung als auch Geschwindigkeit) berechnen wir mit dem Differenzenquotienten:
Diese Formel wurde eben in Abbildung 2.2 (Genauere Untersuchung von Peters Fahrt) genutzt, um die mittleren Steigungen, die durch das Steigungsdreieck veranschaulicht wurden, zu berechnen.