Przykład 3.3 (z parametrem)
Zbadamy istnienie ekstremów lokalnych funkcji zmiennej uwikłanej równaniem
w zależności od wartości parametru . Ilustracja graficzna: Zmieniając suwakiem wartości parametru zastanów się, jak wpływa on na ilość ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych.Rozwiązanie:
Funkcja ma ciągłe odpowiednie pochodne cząstkowe dla dowolnych wartości parametru .
Rozważmy trzy przypadki:
- Wówczas układ (*) ma tylko jedno rozwiązanie Ponieważ i , zatem w otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponadto , co oznacza, że funkcja uwikłana ma w maksimum lokalne równe .
- W tym przypadku układ (*) ma trzy rozwiązania: , i . Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponieważ , więc funkcja uwikłana ma w minimum lokalne równe . Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponieważ , więc funkcja uwikłana ma w maksimum lokalne równe . Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponieważ , więc funkcja uwikłana ma w maksimum lokalne równe .
-
Dane równanie jest wówczas postaci . Stąd . Możemy więc wyznaczyć jawny wzór funkcji uwikłanej . Ponieważ
dla każdego
więc ma w maksimum lokalne o wartości .