Differentieren (Bakje maximaal volume)
Door differentieren van een functie f(x) krijg je de eerste afgeleide f'(x). Deze eerste afgeleide f'(x) geeft de waarde van de richtings coefficient van de originele functie f(x) in ieder punt.
Als de waarde van de afgeleide f'(x) = 0 dan heb je een extreem (minimum of maximum) gevonden. Neem onderstaand voorbeeld.
Van een plaat van 2 x 2 maken we een bakje door de hoeken met de afstand n te verwijderen en de zijkanten omhoog te klappen.
Als n = 0 dan hebben we geen hoogte en zal het volume 0 zijn
Als n = 1 hebben we geen oppervlakte en zal het volume ook 0 zijn
Vraag: bij welke n is het volume van het bakje maximaal?
Oplossing:
1) Maak de functie omschrijving voor Volume(n)
2) Bepaal de eerste afgeleide van Volume(n) namelijk Volume'(n)
3) Bepaal waar Volume'(n) = 0
Deze n geeft het maximale volume
4) Bereken het maximale volume door n in te vullen in Volume(n)
Eerst gaan we het volume bepalen van het bakje, dit is de hoogte (n) keer de oppevlakte van de het grondvlak.
De oppervlakte van het grondvlak =
Oftewel het volume is
De functie is geldig voor
Want de hoogte kan niet negatief zijn en ook niet groter dan 1 (omdat we niet meer materiaal hebben)
De grafiek van het Volume(n) is hieronder weergegeven
Volgens bovenstaande grafiek van het volume blijkt inderdaad dat bij n=0 en n=1 het volume gelijk is aan 0. Wat we ook zien is dat het maximum niet op 0.5 ligt maar bij ongeveer 0.3 en dat het maximale volume daar bijna 0.6 is.
Maar wat is de exacte waarde en hoe kunnen we die berekenen?
Dat kan door de afgeleide te bepalen van het volume en te kijken waar deze afgeleide 0 is. Dit punt komt overeen met de waarde waar de richtingscoefficient van het volume precies 0 is en daarmee het maximum aangeeft.
Bepaal de afgeleide met de productregel:
De grafiek ziet er dan als volgt uit:
Het maximum volume ligt op n = 1/3
Deze 1/3 kunnen we weer invullen in de volume functie
n= 1/3
Om het geheel compleet te maken is er een Interactieve 3d weergave opgenomen. Door het schuiven aan slider n is ook praktisch aan te tonen dat de gevonden conclusie juist is.