Die Logarithmusfunktion
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Wenn es eine Gleichung gibt, wie , dann haben wir bisher kein Werkzeug kennengelernt, um so eine Gleichung nach aufzulösen. Das geschieht mit einer Logarithmusfunktion.
Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. Das heißt, die Logarithmusfunktion macht die Wirkung der Exponentialfunktion wieder rückgängig. Daher sind auch Exponentialfunktionen die Umkehrfunktionen der Logarithmusfunktionen.
Weil es unendlich viele verschiedene Exponentialfunktionen gibt - wir können ja für die Basis jede beliebige Zahl wählen - gibt es auch unendlich viele Logarithmusfunktionen:
Die Umkehrfunktion von ist .
Die Umkehrfunktion von ist .
Die Umkehrfunktion von ist .
...
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus .
Es gilt:
oder
Das heißt, wenn man eine Funktion und eine Umkehrfunktion nacheinander ausführt, dann ändert sich nichts.
Die Lösung von erhält man also, indem man auf beide Seiten der Gleichung den Logarithmus zur Basis anwendet:
also .
Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen
Ist der Funktionsgraph einer Funktion gegeben, dann ist der Funktionsgraf der Umkehrfunktion der Funktionsgraph von , nur an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gespiegelt.
In der folgenden App kann das an Hand von Exponentialfunktionen und der dazu passenden Logarithmusfunktionen beobachtet werden: