Cartesisches Oval mit 6-Eck

Autor:Walter Füchte

Wird kein 6-Ecknetz angezeigt, den refresh-button betätigen Die Regler für die Parameter des Ovals sind sehr sensibel, die Ergebnisse können falsch sein, die Gründe werden noch gesucht!.

Walter Wunderlich hat 1938 über ein "Besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" berichtet ("mit 2 Textfiguren"!). Seine Textfiguren illustrieren die Aussage: "Aus drei Reihen dopelt berührender Kreise eines zwei-teiligen Cartesischen Ovals läßt sich ein Dreiecksnetz aufbauen." Oben ist ein Cartesisches Oval mit der impliziten Gleichung

angezeigt. Ein Cartesisches Oval ist eine bizirkulare Quartik mit in der Regel 4 konzyklischen Brennpunkten. Oben liegen diese Brennpunkte auf der

-Achse, speziell ist

und

. Der Brennpunkt

ergibt sich aus den folgenden Eigenschaften, die wir ohne Nachweis zusammentragen.

Das Cartesische Oval ist der Ort der Punkte , für welche folgende lineare Abstandsgleichungen gelten: . Diese Eigenschaften sind nützlich in der Optik.
In der Regel besitzen obige Quartiken 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise (einer davon ist imaginär). Die Symmetriekreise kann man mit Hilfe der Scheitelpunkte auf der -Achse und den zugehörigen Scheitelkreisen konstruieren. Mit ihrer Hilfe findet man auch den 4. Brennpunkt.
Zu jeder Symmetrie gehören doppelt-berührende Kreise. Die Quartik ist Hüllkurve dieser Kreisscharen.
Zeichnet man einen der Brennpunkte aus, so kann man zur Konstruktion dieser Ovale und ihrer doppelt-berührenden Kreise folgende Eigenschaft nutzen:
- Für jede Symmetrie liegen die Spiegelbilder des ausgezeichneten Brennpunkts bezüglich der zugehörigen doppelt-berührenden Kreise auf einem Leitkreis.
Wählt man als ausgezeichneten Brennpunkt, so sind die 3 von der -Achse verschiedenen Leitkreise konzentrisch!

Durch jeden Punkt im "Inneren" der Quartik (d.h. hier zwischen den Ovalen) gehen 6 doppelt-berührende Kreise. Wählt man von diesen 6 Scharen 3 aus, so entsteht ein 6-Ecknetz. Zur Konstruktion dienen die Leitkreise und die zugehörigen Symmetrien: die Mittelpunkte der doppelt-berührenden Kreise liegen auf den Leitkreisen. Man kann die Kreise in Bewegung setzen - es entsteht Chaotisches, da die Kreise sich überlagern und manche sich komplex verabschieden. Erstaunlich ist allerdings, dass meist die geordneten Verhältnisse zurückkehren, trotz unvermeidbarer Rechenungenauigkeiten und langer Rechenketten. Zur Not hilft der refresh-Button! Ein Lob auf die Tragfähigkeit von gegebra! Literatur: Walter Wunderlich "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen". Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 1938 Cartesian oval (wikipedia) siehe auch unser GeoGebra-Büchlein über Sechseck-Netze

Cartesisches Oval mit 6-Eck

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