2.4 Límites al infinito
Definición
Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la
variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo,
como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor
finito o puede diverger a infinito (límite infinito).
Ejercicio
Veamos los tipos de límites al infinito que se pueden presentar.
Límite finito L cuando x → +∞
Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a +∞ si, en un
entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese
entorno, haciendo la variable x tan grande y positiva como se
quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera.
Como se ve en la figura:
Límite finito L cuando x → -∞
Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a -∞ si, en un
entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese
entorno, haciendo la variable x tan grande y negativa como se
quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera.
Como se ve en la figura:
Ahora los tipos de límites al infinito en los que el valor del límite es un límite infinito.
Cuando x → +∞ y el límite = +∞
Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen
infinitamente grandes (positivas).
Cuando x → +∞ y el límite = -∞
Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen
infinitamente grandes y negativas.
Cuando x → -∞ y el límite = +∞
Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen
infinitamente grandes (positivas).
Cuando x → -∞ y el límite = -∞
Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen
infinitamente grandes y negativas.
Pregunta
El límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es el valor al que?