2-teilige bizirkulare Quartiken
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)
Leit-Kreis Konstruktionen Ist die absolute Invariante der 4 verschiedenen Brennpunkte reell und nicht-negativ, so sind die Brennpunkte konzyklisch, und sie besitzen 4 orthogonale Symmetrie-Kreise, einer davon ist imaginär. In Normalform kann man die Brennpunkte f, -f, 1/f, -1/f mit f > 1 auf der -Achse anordnen. Die Quartiken sind symmetrisch zu den Achsen und zum Einheitskreis. Auf 3 verschiedene Arten kann man die 4 Brennpunkte paarweise als Grundpunkte von elliptischen oder orthogonal als Grundpunkte von hyperbolischen Kreisbüscheln wählen. In jedem Falle sind die konfokalen Quartiken Winkelhalbierende der beiden Kreis-Büschel-Paare. Zu jeder Symmetrie gehört eine Schar doppelt-berührender Kreise. Wählt man einen der Brennpunkte aus, und spiegelt man diesen an den doppelt-berührenden Kreisen einer Schar, so liegen die Spiegelpunkte auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Im Applet wurde der Brennpunkt f ausgewählt; die drei Leitkreise gehören zur Spiegelung an der -Achse, zur Spiegelung am Einheitskreis, und zur Spiegelung am imaginären Kreis. Sie liegen in einem hyperbolischen Kreisbüschel um f, den 2.-ten Büschelpunkt f# findet man als Spiegelpunkt von f an den 3 Leitkreisen. Zur Konstruktion ist es noch nützlich zu wissen, dass jeder der 3 Leitkreise jeweils orthogonal zu den Brennkreisen des Kreisbüschels liegen, zu welchem f nicht gehört. Mit diesen Informationen über die Leitkreise kann man die bizirkularen 2-teiligen Quartiken auf 3 Arten als Ortskurven "konstruieren".Scheitel-Kreis-Konstruktionen
Auch diese Konstruktionen sind auf 3 Arten möglich, nicht jede ist im Applet ausgeführt.
Zu einer der genannten Symmetrieen wähle man die orthogonalen Kreisbüschel.
Die Winkelhalbierenden-Kreise sind orthogonal zur -Achse.
Die Zuordnung der Brennkreise der beiden Kreisbüschel erfolgt wie in den vorangegangenen Beispielen:
man spiegle einen der Brennkreis-Schnittpunkte mit der -Achse an einem zugehörigen Scheitelkreis
und erhält einen Brennkreis-Schnittpunkt für den anderen Brennkreis.
Auch hier sind die doppelt-berührenden Kreise ohne reelle Berührpunkte nützlich für die Konstruktion
der Kreise auf Darboux Cycliden.
In allen 3 Fällen werden die -achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise konstruiert.
Die konstruierten Kreise sind dieselben, sie entstehen jedoch als Winkelhalbierende aus unterschiedlichen
Kreisbüscheln.