Funções vetoriais de várias variáveis reais
Definição:
Uma função vetorial de várias variáveis reais é uma correspondência, , que a cada ponto , associa um e apenas um , tal que . O conjunto é chamado de domínio de e é o maior conjunto onde é definida.
Inicialmente apresentaremos exemplos de funções , aonde para cada . Elas se relacionam com parametrização de superfícies.
Posteriormente, apresentaremos exemplos de funções , aonde para cada . E de funções de , aonde para cada . Elas representarão transformações no plano e no espaço, respectivamente.
Finalmente, apresentaremos exemplos de funções , aonde associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais.
Imagem X gráfico
Não podemos confundir esses dois termos. Considere uma função da forma:
, tal que
O conjunto é chamado conjunto imagem da função vetorial de variáveis reais de . Note que é um conjunto de . Por outro lado, o conjunto representa o gráfico da mesma função. Note que desta vez, o conjunto está em .
Neste capítulo , portanto os gráficos estarão em etc..., daí não poderemos esboçá-los. Somente poderemos esboçar o conjunto imagem que será um subconjunto de ou .
A seguir, apresentaremos exemplos de funções , aonde o conjunto imagem são algumas superfícies conhecidas. Elas são parametrizações das respectivas superfícies.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções e veremos como elas transformam figuras do plano.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções e veremos como elas transformam superfície do espaço
A seguir, apresentaremos exemplos de funções , aonde associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função em cada ponto do domínio de , isto é, . A função é chamada de função potencial do campo vetorial .
Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções , aonde associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função em cada ponto do domínio de , isto é, . A função é chamada de função potencial do campo vetorial .
Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.
Os applets são abertos para o leitor. Sinta-se livre para definir as coordenadas de cada função e gerar seu campo vetorial, no ou no , respectivamente.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*