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Trazando cuadriláteros... de área máxima

Autor:Javier Cayetano Rodríguez
Si conocemos las medidas de los lados de un triángulo, podemos dibujarlo con regla y compás, trazando circunferencias y encontrando su punto de corte. Sin embargo, aunque conozcamos las medidas de los cuatro lados para un cuadrilátero, en general,

¡se pueden trazar muchos cuadriláteros! (podemos comprobarlo moviendo los puntos azules en el siguiente applet.)

Así que, podríamos preguntarnos cuál cumple cierta condición. Como todos tienen el mismo perímetro, podríamos preguntarnos
  • ¿Tienen todos la misma área?
  • Si no es así, ¿cuál tiene mayor área?
Investiga cómo resultan los cuadriláteros interactuando con el siguiente applet, probando diferentes configuraciones de longitudes. Fíjate en que, como pista, nos están indicando las sumas de los ángulos opuestos.

Traslada tus conclusiones

Responde razonadamente las siguientes cuestiones:

  1. ¿Qué procedimiento seguirías para trazar un cuadrilátero del cual conocemos la longitud de sus lados? Puedes usar como pista la construcción del applet, marcando la casilla Circ. auxiliares. ¿Cómo encontrarías la zona en la que podemos situar los vértices para que haya solución (es lo que hace en el applet, al marcar la casilla Zona con solución).
  2. Observa si el área es mayor o menor dependiendo del valor de la suma de los ángulos opuestos, e indica tus conclusiones.
  3. Fíjate que en muchas ocasiones, es posible encontrar polígonos cóncavos (algún ángulo interno es cóncavo - mayor de 180º). Expresa, razonando matemáticamente, alguna condición para que esto ocurra. Como pista, puedes justificar primero el caso en que hacemos que dos lados estén alineados y por tanto la figura resultante es un triángulo.
  4. Pulsa en el botón "Óptimo". Se mostrará la configuración correspondiente al cuadrilátero de mayor área. Indica qué observas de especial.
  5. Marca la casilla Circunferencia y prueba con diferentes medidas de lados y las correspondientes configuraciones "Óptimas". Indica qué observas en especial. ¿Conoces cómo se denomina el tipo de cuadriláteros involucrados?
  6. Por último, prueba a modificar el orden de los lados. La forma del cuadrilátero óptimo cambia, pero ¿y su área? Indica alguno de los ejemplos con los que hayas probado.

Avanzado (necesitas conocer trigonometría)

Al igual que hay una fórmula que permite calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados, existe otra para un cuadrilátero. Como normalmente hay muchos cuadriláteros posibles, necesitaremos conocer algún dato más. En este caso, el valor de la suma de dos ángulos opuestos. Por este motivo, es uno de los datos que nos muestra el applet para nuestra investigación (notar que conocida una, tenemos la otra, pues entre los cuatro son 360º). Si las medidas de los lados son y , y el semiperímetro es , y la semisuma de dos ángulos opuestos es , la fórmula de Bretschneider establece que el área es

.

Por eso, el caso en el que el área es mayor es cuando la semisuma es 90º (pues el coseno es nulo), es decir, cuando los ángulos opuestos suman 180º. Los demás elementos de la fórmula son fijos, pues dependen únicamente de la longitud de los lados. Es por ello que elegimos el ángulo que minimice ese número que se está restando en la expresión del área. Notar que como los cuatro ángulos suman 360º, el valor de este coseno siempre es, salvo el signo, el mismo para cualquiera de las dos parejas. Además, de la propia fórmula podemos deducir que el área máxima será la misma para los posibles cuadriláteros que podemos formar cambiando el orden de los lados. (*) La fórmula es válida cuando los lados no se autointersecan.

Construyendo la solución óptima

Así pues, la solución es óptima si las parejas de ángulos opuestos suman 180º. Pero en ese caso tenemos un cuadrilátero cíclico, es decir, un cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia. Por eso el applet ofrece la posibilidad de visualizar la circunferencia, para comprobarlo en el "caso óptimo". Pero además, el conocer este hecho es lo que nos permite dibujarlo, pues para los cuadriláteros cíclicos es posible averiguar el valor de sus ángulos, pues podemos calcular cualquiera de sus razones trigonométricas. Y con ese dato, como ya conocemos la longitud de los lados, podemos terminar de trazar el cuadrilátero. Por ejemplo, en el applet se ha hecho a partir del valor de la tangente del ángulo formado entre los lados contiguos y del cuadrilátero.

.

A partir de este valor, mediante el arco tangente, podemos calcular el ángulo, elegir el punto correcto y terminar la construcción del cuadrilátero óptimo.

Reto

Utilizando la fórmula proporcionada anteriormente para calcular ángulos internos en un cuadrilátero cíclico, crea un applet que permita

construir

 un cuadrilátero cíclico, dadas las longitudes de los lados,

almacenadas en las variables l1, l2, l3 y l4.

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