Elipsa. Noțiuni elementare
Această parte introductivă conține aplicații cu ajutorul cărora sunt prezentate noțiuni elementare despre elipsă:
- două exemple de elipse;
- o metodă de construcție a unei elipse;
- ecuația canonică a unei elipse;
- ecuațiile parametrice ale unei elipse.
Două exemple de elipse
Suprafața liberă a unui lichid în echilibru, aflat într-un vas cilindric, înclinat față de verticală.
1. Următoarea aplicație modelează următoarea situație: un vas cilindric circular drept, care are raza bazei R și înălțimea H, este sprijinit, inițial, pe o suprafață plană și conține o coloană de lichid omogen de înălțime h. La suprafața acestui lichid se găsește o peliculă dintr-un alt lichid, de culoare galbenă, nemiscibil cu primul.
Vasul poate fi înclinat față de verticală cu unghiul .
Valorile mărimilor R, H, h și se pot modifica cu ajutorul cursoarelor corespunzătoare.
În fereastra din partea dreaptă se poate observa vizualizarea 2D a planului ce conține pelicula de lichid de culoare galbenă.
Atunci când vasul cilindric este înclinat, conturul peliculei de lichid de culoare galbenă are formă de elipsă!
Elipsă (< fr. ellipse < lat. lit. ellipsis < gr. elleipsis, lipsă)
ETIMOLOGIE
Ἔλλειψις, care semnifică lipsă, se aplică elipsei gramaticale, deoarece ceva este șters, și elipsei geometrice, pentru că îi lipsește ceva pentru a fi un cerc perfect; de la ἐν, și λείπτειν, a lăsa, a lipsi”. (Conform https://www.littre.org/definition/ellipse)
Aplicația este astfel concepută încât, atunci când vasul cilindric este înclinat, lichidul să nu curgă din vas și pelicula de lichid galben să nu atingă fundul vasului. Care este valoarea limită a unghiului ?
2. Orbita Pământului
Accesați animația care are linkul următor https://www.earthspacelab.com/app/earth-revolution/
Construcția elipsei
Următoarea listă conține linkurile a două materiale care prezintă o metodă de construcție a unei elipse.
Ținând cont de această metodă, elipsa se poate defini ca locul geometric al punctelor din plan, pentru care suma distanțelor față de două puncte fixe, numite focare, este constantă.
Ecuațiile elipsei
1. Ecuația canonică a elipsei
Următoarea aplicație ilustrează, prin intermediul unei animații, modalitatea de construcție a elipsei demonstrată de cele două materiale anterioare.
Cu ajutorul cursoarelor f și m pot fi modificate distanța dintre focare, FF', respectiv suma distanțelor de la punctele elipsei la focare, PF+PF'.
Animația poate fi pornită, întreruptă și reinițializată cu ajutorul butoanelor de culoare albastră, situate în zona centrală a părții inferioare.
După finalizarea construcției elipsei, apare o casetă care permite vizualizarea/ascunderea unui punct al elipsei. Acest punct poate fi deplasat cu ajutorul mouse-lui.
1.
Utilizând relațiile dintre coordonatele punctului P al elipsei și numerele m și f, demonstrați că elipsa are ecuația , unde .
Ecuația se numește ecuația canonică a elipsei.
2.
Demonstrați că elipsa intersectează axa în raport cu care focarele au coordonatele F(f,0) și F'(-f,0) în punctul care are abscisa m.
m se numește semiaxa mare a elipsei.
3.
Demonstrați că elipsa intersectează axa perpendiculară pe axa în raport cu care focarele au coordonatele F(f,0), respectiv F'(-f,0), în punctul de ordonată .
se numește semiaxa mică a elipsei.
Ecuațiile parametrice ale elipsei
Următoarea aplicație conține o animație care ilustrează un mod de a construi, prin puncte, o elipsă, cu ajutorul a două cercuri concentrice, de raze m, respectiv n.
1.
Demonstrați că punctul E descrie o elipsă.