Características de la función logarítmica
Una función logarítmica es aquella que genéricamente y se expresa se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, Se expresa:
La igualdad anterior, nos permite calcular algunos logaritmos de manera inmediata. Por ejemplo:
Propiedades de los logaritmos- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
- El logaritmo de una división es igual a la resta de logaritmos:
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:
- El logaritmo de un radical es igual al exponente dividiendo al logaritmo:
Otras propiedades
Tiene límites infinitos en 0 + i +
. El límite de cualquier logaritmo de número 1 es igual a 0:
donde a es cualquier numero
Un logaritmo de la misma base y del mismo numero es igual a 1: 
.
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
1· La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+).
2· Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
3· En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
4· La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
5· Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:
1) logb 1 = 0
2) logb b = 1
3) logb bx = x
4) logb MN = logb M + logb N
6) logb Mp = p logb M
7) logb M = logb N si y sólo si M = N
Caracteristicas de las funciones logarítmicas
Dominio: R+
Rango: R
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Gráficas de funciones logarítmicas
Las funciones y= bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene comoasíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.
Ejemplo:
Las funciones y=2x y y=log2x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y=log2 x es una reflexión de la gráfica de y=2x sobre la recta y=x. El dominio de y=2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y=log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.
Ejemplos
1. Desarrolla aplicando logaritmos decimales la expresión
2. La expresión
proviene de haber aplicado logaritmos neperianos a una cierta igualdad. De que igualdad se trata?
-Su dominio (su conjunto de partida o inicial) son los números reales positivos.
-Se trata de una función continua, cuyo recorrido es R
-Pueden ser crecientes o decrecientes, así como convexas o cóncavas, según el valor de la base
-El eje de las y es la asíntota de la gráfica
-La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.
-La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente y h unidades horizontalmente con la ecuación y = log b ( x + h ) + k .
La igualdad anterior, nos permite calcular algunos logaritmos de manera inmediata. Por ejemplo:
Propiedades de los logaritmos- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
- El logaritmo de una división es igual a la resta de logaritmos:
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:
- El logaritmo de un radical es igual al exponente dividiendo al logaritmo:
Otras propiedades
Tiene límites infinitos en 0 + i + . El límite de cualquier logaritmo de número 1 es igual a 0:
donde a es cualquier numero
Un logaritmo de la misma base y del mismo numero es igual a 1: .
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
1· La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+).
2· Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
3· En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
4· La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
5· Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:
1) logb 1 = 0
2) logb b = 1
3) logb bx = x
4) logb MN = logb M + logb N
6) logb Mp = p logb M
7) logb M = logb N si y sólo si M = N
Caracteristicas de las funciones logarítmicas
Dominio: R+
Rango: R
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Gráficas de funciones logarítmicas
Las funciones y= bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene comoasíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.
Ejemplo:
Las funciones y=2x y y=log2x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y=log2 x es una reflexión de la gráfica de y=2x sobre la recta y=x. El dominio de y=2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y=log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.
Ejemplos
1. Desarrolla aplicando logaritmos decimales la expresión
2. La expresión proviene de haber aplicado logaritmos neperianos a una cierta igualdad. De que igualdad se trata?
-Su dominio (su conjunto de partida o inicial) son los números reales positivos.
-Se trata de una función continua, cuyo recorrido es R
-Pueden ser crecientes o decrecientes, así como convexas o cóncavas, según el valor de la base
-El eje de las y es la asíntota de la gráfica
-La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.
-La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente y h unidades horizontalmente con la ecuación y = log b ( x + h ) + k .