Lineare Optimierung grafische Lösung
Schokolade wird hergestellt aus Kakao, Milchpulver und Zucker nach der Rezeptur:
Der Rohstoffbestand einer Confiserie 120 kg Kakao, 30 kg Milchpulver und 90 kg Zucker.
Das Vollmilch-Produkt erzielt einen Gewinn von 11,-€/kg, das Zartbitter Produkt einen Gewinn von 9,-€/kg.
Wie viel kg Vollmilch bzw. Zartbitter sollen produziert werden, damit der Gewinn maximal ist. Wie hoch ist der Gewinnbetrag im Optimum?
| Vollmilch | Zartbitter | |
| Kakao | 30% | 60% |
| Milchpulver | 20% | |
| Zucker | 50% | 40% |
| Variablenzuweisung: Vollmilchschokolade in kg: x , x>0 Zartbitterschokolade in kg: y , y>0 | Zielfunktion: Z(x, y) = 11 x +9 y Z -> Max | Nebenbedingungen: Kakao in kg: 30% x + 60% y <= 120 Milchpulver in kg: 20% x <= 40 Zucker in kg: 50% x + 40% y <= 90 |
Zeichnerische Lösung erstellen
LP anschaulich
LP - lineares Programm
Der Punkt P gibt ein Produktionsprogramm an - verschieben Sie den Punkt
und beobachten Sie die Tableau Parameter und die Entwicklung der
Gewinn-Funktion. Sie können den Punkt exakt positionieren, wenn sie im
Algebra-Fenster die Koordinaten in die Eingabezeile schreiben: z.B. P=(150,0).
- Ungültige Lösungen für das lineare Programm liegen außerhalb des blauen Vielecks. Überschreiten Sie den Vieleck-Bereich zeigt Ihnen das Programm welche Auswirkungen auf Ihre Produktionsparameter zu erwarten sind. Rechts von der Gerade fürs Milchpulver würden Sie mehr Milchpulver für das Produktionsprogramm benötigen als vorrätig ist (mehr als 30 kg) ===> P=(160,40) ===> Zucker fehlt, Milchpulver fehlt ===> Milchp s2=-2, Zucker s3= -6 fehlende Mengen
- Gültige Lösungen für das lineare Programm liegen innerhalb des blauen Vielecks. ===> P=(80,120) ===> Gewinn 1960 ===> Restmengen der Rohstoffe: Kakao: 24, Milchp: 14, Zucker: 2
- Optimale Programme schöpfen die verfügbaren Rohstoffmengen möglichst komplett aus, d.h. das Optimum ist auf den Rändern des Vielecks zu suchen. Idealer Weise dort, wo sich 2 Rohstoff Grenzwerte (Geraden) schneiden. ===> Kandidaten B - C - O - D
- Ziehen Sie P auf die Eckpunkte (geben Sie die Koordinaten in der Eingabezeile ein - exakte Position). Beobachten Sie den Gewinn und das Programm Tableau - es gibt nur 2 Kandidaten, die 2 der Rohstoffe komplett aufbrauchen: P–>C: x=150, y=37 1/2, Gewinn 1987.5, Rest Kakao s1=52.5, Milchp s2=0, Zucker s3=0 P–>O: x=33 1/3, y=183 1/3, Gewinn 2016 2/3, Kakao s1=0, Milchp s2=23 1/3, Zucker s3=0
- Eine rechnerische Lösung eines linearen Programmes besteht im Aufsuchen der optimalen Eckpunkte des Vielecks - bei mehr als 2 Variablen spricht man vom Simplex.
LineareOptimierungGrafisch
Skript geführte Version mit flexibler Anzahl an Nebenbedingungen
Tableau-Matrix-Gleichung:
Nachbetrachtung, die Mathematik des Linearen Programmes
Für jede Nebenbedingung des Programms habe ich sogn. Schlupfvariable si eingeführt, die aus einer Ungleichung eine Gleichung machen:
Kakao: 30%x+60%y<120 ===> 30%x+60%y + s1 = 120 ===> s1 = 120 - 30%x - 60%y
Milchp: 20%x < 30 ===> 20%x + s2 = 30 ===> s2 = 30 - 20%x
Zucker: 50%x+40%y<90 ===> 50%x+40%y + s3 = 90 ===> s3 = 90 - 50%x - 40%y
===>
Konstruktion einer Lösung der Tableau-Gleichungen
===>
Dieses lineare Programm kann zu gewählten Produktionsmengen x,y eine Lösung der zugrundeliegenden Gleichungen angeben: Es gibt gültige Lösungen, die die Nebenbedingungen einhalten - alle x, y, s1, s2, s3 sind positiv (man spricht von der nicht Negativitäts-Bedingung) oder ungültige Lösungen, die bei negativen Schlupfvariablen enden (das LP würde mehr als die vorhandenen Rohstoffmengen verbrauchen).
Die Matrix-Gleichung können Sie z.B. mit einer TabKalk (Google Tab, Excel, Calc usw.) nachbauen.
- MMUL: Matrixmultiplikation
- Excel, Calc markieren Sie H3:H5! Sie schreiben die Formel =MMULT(A3:E5;F1:F5) ein und
- übergeben sie der Zelle mit der Tastenkombination Strg+Umschalt+Eingabe-Taste.
- Wichtig bei Array-Funktionen wie MMULT.
- Es darf in den verarbeiteten Zeilen keine leere Zelle sein!
Tableau auswerten
Max Programm mit nicht Standard Nebenbedingungen
Aufgabe
| maximize_lp( 2*x+3*y ,[ x >= 2, y >= 1, 2*x + y <= 7 ] ) | Xchg -x<=-2 -y<=-1 | Die nicht zum Max-Programm passenden NB korrigiere ich, damit alle NB <= lauten und trage diese auch so in der Inputbox der grafischen Lösung ein: Die Gleichungen des Tableaus liefern damit auch die korrekten Lösungen - für die Grafik an sich ist wäre dies nicht notwendig. NB1 und NB2 |
