Multiplicadores de Lagrange
Seja uma função diferenciável no aberto , Seja uma função de classe em e seja . Suponha que para todo . Se é um ponto de máximo ou mínimo de em , então existe tal que
.
Desta forma, os candidatos a máximo ou mínimo de em , são os pontos que satisfazem o sistema abaixo para algum
Denominamos os 's que satisfazem o sistema acima como multiplicadores de Lagrange. Note também que os 's são os coeficientes da combinação linear
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No applet abaixo é possível observar o uso desse método para localizar máximos e\ou mínimos, representados em amarelo. O segmento em preto representa o vetor gradiente de e enquanto o vermelho representa o vetor normal a curva e é possível, através da movimentação do ponto , observar uma relação entre esses dois vetores nos pontos críticos.
Seja uma função diferenciável no aberto , Seja uma função de classe em e seja . Suponha que para todo . Se é um ponto de máximo ou mínimo de em , então existe tal que
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Desta forma, os candidatos a máximo ou mínimo de em , são os pontos que satisfazem o sistema abaixo para algum
No applet abaixo é possível observar o uso desse método para localizar máximos e\ou mínimos, representados em amarelo. O segmento em preto representa o vetor gradiente de e enquanto o vermelho representa o vetor normal a curva e é possível, através da movimentação do ponto , observar uma relação entre esses dois vetores nos pontos críticos.
Seja uma função diferenciável no aberto , Seja e funções de classe em e seja . Suponha que para todo . Se é um ponto de máximo ou mínimo de em , então existe e reais tais que
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Desta forma, os candidatos a máximo ou mínimo de em , são os pontos que satisfazem o sistema abaixo para algum reais
No applet abaixo é possível observar o uso desse método para localizar máximos e\ou mínimos, representados em amarelo. O segmento em preto representa o vetor gradiente de , o vermelho representa o vetor normal a esfera, o verde é o vetor normal ao cilindro e é possível, através da movimentação do ponto , observar uma relação entre esses três vetores nos pontos críticos.
Obs: Diferente dos outros applets, nesse não podemos manipular diretamente o ponto A(bolinha roxa) no gráfico 3D. Para tal é necessário utilizar a barra deslizante, que se encontra logo abaixo da definição do ponto A.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*