５．集合
１.集合の定義と表し方
2.集合の関係演算
＜和＞
２つの集合A、Bで、Aの要素「または(or)」Bの要素の集まりをAとBの[和集合(Union)]という。
は２つの集合を合併してあわせる演算である。とかく。
（例）A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば、
和集合は「３の倍数または５の倍数」の集合。
＜積＞
２つの集合A、Bで、Aの要素「かつ（and)」Bの要素の集まりをAとBの[積集合(Intersection)]（共通部分）という。
は２つの集合の共通部分に限定する演算である。とかく。
（例）A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば、
積集合は「3×5＝15の倍数」の集合。
（数的、論理的に積に対応するから積集合の名があるのだろう。）
＜差＞
全体集合Uのうち、Aの要素「でない」ものの集まりを[補集合(Complement)]という。
とかくことにする。
２つの集合A、Bで、Aの要素「であるが」Bの要素「でない」ものの集まりを[差集合(Difference)]という。A-Bとかく.
差集合A-B＝。
AからAとBの積集合（共通部分）を取り除いた残りとも言える。
（例）A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば、
差集合A-Bは３の倍数だが５の倍数でない集合。
＜対称差＞
２つの集合A、Bで、AとBの「どちらか片方だけ」の要素の集まりをAとBの[対称差(Symmetric difference)]という。
A-BとB-Aを合併したもので、排他的な和集合ともいい、
狭い方の「日本語のまたは」と同じ意味になる。
回路設計やプログラミングに役立つことがある。
（例）A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば、対称差は３か５の片方だけの倍数の集合。
★集合による数の分類を視覚化してみよう。
３．部分集合と要素数
＜集合の要素数＞
１つの集合Aの要素数をn(A)とかき、集合のサイズという。
（例）プログラミング言語では、集合やリストAの要素数をsize(A),Length(A),len(A)などと書く。
＜集合の部分＞
１つの集合の要素の一部分を要素とする集合をもとの集合の[部分集合[Subset]]という。
もとの集合のサイズをｎとすると、ｎ個の要素の所属が２通りずつある。
だから、部分集合の個数は2ｎ個ある。
（例）A={1,2,3,4}の部分集合は2n個ある。
サイズ４が4C4、サイズ３が4C3、サイズ２が4C2、サイズ１が4C1、サイズ０が4C0(個）
4C4+4C3+4C2+4C1+4C0=1+4+6+4+1=16=24
サイズ４が4C4＝１個ある。{1,2,3,4}
サイズ３が4C3＝４個ある。{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}
サイズ２が4C2＝６個ある。{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}
サイズ１が4C1＝４個ある。{1},{2},{3},{4}
サイズ０が4C0＝１個ある。
どんな整数の約数にも１とその数自身があるように、
どんな集合の部分集合として、空集合とその集合自身の２個はある。
＜集合の包含と相等＞
AがBの部分集合ならば、。BがAの部分集合ならば、。
この２つが両方なりたつときに、(相等）
（例）６の倍数Aは２の倍数Bの部分集合なので、
＜集合の類別＞
１つの集合を重なりのない複数の集合に分けることを類別という。
（例）整数全体Nを、５で割ったあまりによって、５つの集合に類別できる。
余りがｎの部分集合をCnとかくと、
（整数は余りが0,1,2,3,4のどれか１つに決まり、それ以外ない）
(余りがちがうと重なる要素はない。排反）