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Betrag und Orthogonalität

Autor:Gottfried Kendl
1. Welche geometrische Bedeutung hat für ?

Aufgabe 1

Berechne für .

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Vergleicht man das Ergebnis von Aufgabe 1 mit der Formel für den Betrag des Vektors, , so erkennt man: bzw. , kurz: .
2. Von zwei Pfeilen sind die Beträge gegeben. Welche Werte kann ihr Skalarprodukt annehmen?

Aufgabe 2

Bewege die Spitze von und stelle fest, welche Werte annimmt. a) Bei welchem Winkel zwischen und hat das Skalarprodukt den kleinsten/größten Wert? b) Wie hängen diese Werte mit den Beträgen der beiden Vektoren zusammen? c) Bei welchem Winkel hat das Skalarprodukt den Wert 0?

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3. Um die Ergebnisse von Aufgabe 2 zu verstehen, betrachten wir zuerst den Fall, dass die beiden Vektoren parallel sind, sie also einen Winkel von 0° oder 180° einschließen.

Aufgabe 3a

Wie hängt von ab, wenn der Winkel 0° beträgt? Drücke dann das Skalarprodukt durch aus. Forme so um, dass man die Formel für den Betrag des Vektors anwenden kann.

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Wie hängt von ab, wenn der Winkel 180° beträgt? Drücke dann das Skalarprodukt durch aus. Forme so um, dass man die Formel für den Betrag des Vektors anwenden kann.

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Allgemein gilt für parallele Vektoren , wobei , je nachdem ob sie die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung haben. Mit den gleichen Umformungen wie in Aufgabe 3 erhält man dann: .
4. Nun betrachten wir den Fall, dass die Vektoren und aufeinander normal stehen; dann ist ein Vielfaches des um 90° gedrehten Vektors .

Aufgabe 4a

Berechne das Skalarprodukt für . (Verwende die Koordinaten, um durch auszudrücken.)

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Man kann den Beweis, dass das Skalarprodukt aufeinander normal stehender Vektoren gleich 0 ist, auch ohne Koordinaten durchführen: Die beiden Vektoren sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, sodass man den Satz des Pythagoras anwenden kann.

Aufgabe 4b

Drücke den "Hypotenusenvektor" durch und aus und wende den Satz des Pythagoras an. Ersetze die Beträge durch das Skalarprodukt und forme die Gleichung um.

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Da die einzelnen Umformungen umkehrbar sind, folgt auch aus , dass und aufeinander normal stehen.

Orthogonalitätsbedingung (orthogonal = rechtwinklig)

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren stehen genau dann aufeinander normal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. .

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