Χρυσή Τομή

Δ.1 ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών

Δύναμη Σημείου ως προς Κύκλο: ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών

Είναι γνωστό ότι οι μαθητές έχουν αποσπασματικές εικόνες για τις μετρικές σχέσεις που συναντούν στην Ευκλείδεια Γεωμετρία της Β΄ Λυκείου, σε σχέση με το αλγεβρικό – συναρτησιακό περιεχόμενο που αυτές εμπεριέχουν. Με άλλα λόγια: Η Άλγεβρα και η Γεωμετρία λειτουργούν στο σχολικό περιβάλλον ως ερμητικά κλειστοί και αποστασιοποιημένοι χώροι ο ένας ως προς τον άλλον. Στη δραστηριότητα επιχειρούμε, στο ενοποιημένο περιβάλλον του λογισμικού Geogebra, να αναδείξουμε την αλληλεξάρτηση αυτή, μέσω διαφόρων συμμεταβολών που δημιουργούνται από τη "Δύναμη σημείου ως προς κύκλο". Επιχειρούμε μέσω αυτής της δραστηριότητας, οι μαθητές να διαπιστώνουν να μπορούν να ερμηνεύουν αλγεβρικά τις εμφανιζόμενες γεωμετρικές ιδιότητες και αντίστροφα, να εξετάζουν μέσω γεωμετρικών ιδιοτήτων τα αναμενόμενα αλγεβρικά ισοδύναμα τους. Σχόλιο: Σημειώνουμε ότι η συγκεκριμένη ενότητα με τη σημασία της "δύναμης σημείου ως προς κύκλο" είναι πλέον εκτός ύλης(..). Η δραστηριότητα προτείνεται να διδαχθεί στις ώρες προσανατολισμού στο πλαίσιο των κωνικών τομών. Προσφέρεται για μια ενοποιημένη θεώρηση θεμάτων που αφορούν στην Ευκλείδεια, Αναλυτική Γεωμετρία καθώς και στην Άλγεβρα. Παράλληλα, θεωρούμε ότι αποτελεί και υποχρέωση κάθε Έλληνα μαθηματικού, να αναφερθεί με την ευκαιρία της παρούσης ενότητας, στην περίφημη χρυσή αναλογία (χρυσή τομή), ένα από τα πλέον σημαντικά (μαζί με την ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών) επιτεύγματα της Σχολής των Πυθαγορείων.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ_blank

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαίρεση ευθ. τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο

Στα στοιχεία του Ευκλείδη συναντάμε για 1η φορά τη διαίρεση ενός ευθ. τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.(Βιβλίο ΙΙ- Η πρόταση 11 είναι η διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή είναι η κατασκευή της Χρυσής Τομής. Στο συγκεκριμένο βιβλίο συναντάμε επίσης τις απαρχές της Γεωμετρικής Άλγεβρας με τη γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήματος καθώς και τον τετραγωνισμό ευθ. σχήματος).

Δ.2 Κατασκευή του λόγου της Χρυσής Τομής.

Χρυσό ορθογώνιο

Στα επόμενα περιγράφουμε τον τρόπο κατασκευής ενός χρυσού ορθογωνίου. Δηλαδή ενός ορθογωνίου που ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με τη χρυσή αναλογία

Δ.3 Κατασκευή χρυσού ορθογωνίου

Δ.4 Ιδιότητες χρυσού ορθογωνίου

Στα επόμενα περιγράφουμε τις ιδιότητες ενός χρυσού ορθογωνίου. Δηλαδή ενός ορθογωνίου. του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο με τη χρυσή αναλογία φ.

Δ.5 Η χρυσή σπείρα

Στα επόμενα περιγράφεται με τη χρήση ενός ψηφιακού δομήματος, η δημιουργία της χρυσής σπείρας. Η χρυσή σπείρα παρατηρείται σε ένα μεγάλο πλήθος σχηματισμών στη φύση (άνθη, όστρακα κ.λ.π), στην αρχιτεκτονική (Παρθενώνας) αλλά και σε έργα τέχνης (ζωγραφική, γλυπτική κ.α).

Δ.6 Η ακολουθία Fibonacci

Η συγκεκριμένη ακολουθία ορίζεται με βάση τον αναδρομικό τύπο: «Κάθε όρος αυτής της ακολουθίας, από τον 3^ο και μετά ορίζεται ως το άθροισμα των δύο προηγούμενων».Με άλλα λόγια πρόκειται για την ακολουθία των όρων: {1,1,2,3,5,8,13,21,34,…}.

Αυξήστε το n για να προκύψουν περισσότεροι όροι αυτής της ακολουθίας. Τί παρατηρείτε για το λόγο δύο διαδοχικών όρων αυτής της ακολουθίας όσο αυξάνει το n;