Wiederholung
Wir haben uns bereits im letzten Schuljahr mit dem Lösen von Gleichungen beschäftigt. Nun wollen wir wiederholen, wie wir dabei vorgehen.
- In den meisten Fällen wird eine Gleichung gelöst, indem sie in eine einfachere, äquivalente Gleichung umgeformt wird, aus der die Lösung sofort abgelesen werden kann.
- Eine äquivalente Gleichung entsteht, wenn man folgende Umformungen (=Äquivalenzumformungen) vornimmt: Auf beiden Seiten der Gleichung wird - dieselbe Zahl addiert - dieselbe Zahl subtrahiert - mit derselben Zahl (0) multipliziert - durch dieselbe Zahl (0) dividiert - dasselbe Vielfache der Unbekannten addiert oder subtrahiert. Auch das Anwenden der folgenden Rechengesetzte zählt zu den Äquivalenzumformungen: - Vertauschungsgesetz [a+b=b+a bzw. ab=ba] - Verbindungsgesetz [a+(b+c)=(a+b)+c bzw. a(bc)=(ab)c] - Verteilungsgesetz [a(b+c)=ab+ac]
- Beim Lösen von Gleichungen kann man rechts anschreiben, was auf beiden Seiten der Gleichung gemacht wird. Die Äquivalenzumformungen werden hierbei als Umkehroperationen ("auf die andere Seite hinüberbringen") gedeutet.
- Beispiel: Verteilungsgesetz anwenden Vereinfachen durch Zusammenfassen | | |
- Um zu Überprüfen, ob die Gleichung richtig gelöst wurde, kann eine Probe gemacht werden. Dazu wird sowohl in der rechten Seite der Gleichung, als auch in der linken Seite die berechnete Lösung für die Unbekannte eingesetzt. Dann werden beide Seiten berechnet und das Ergebnis verglichen. Stimmen die Ergebnisse überein, so wurde der richtige Wert für die Unbekannte gefunden. Probe im obigen Beispiel: Linke Seite: Rechte Seite:
- Es kann auch vorkommen, dass eine Gleichung mehr als eine Lösung oder keine Lösung hat. Beispiel 1: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zahl erfüllt. Beispiel 2: Es gibt keine Zahl, die diese Gleichung erfüllt. Diese Gleichung hat also keine Lösung.