Rechengesetze für Tupel
Aufgabe 1a
Berechne c durch Einsetzen von a und b.
Aufgabe 1b
Vereinfache zuerst den Term für c aus Aufgabe 1a. Setze dann a und b ein. Vergleiche die Ergebnisse.
Darf man denn Terme wie bisher umformen, auch wenn die Variablen für Tupel statt für reelle Zahlen stehen?
Ja, wenn im die gleichen Rechengesetze wie in gelten.
Im Folgenden werden die Rechengesetze aufgezählt und in Aufgabe 2 exemplarisch bewiesen.
Für alle a, b, c und alle r, s gilt:
Bemerkung:
Die Bezeichnungen der Rechengesetze 5 bis 8 stehen zwischen Anführungszeichen, weil diese Namen eigentlich nur bei Rechenoperationen innerhalb einer Menge verwendet werden sollten, die Operanden gehören hier aber zu verschiedenen Mengen, nämlich zu und .
Außerdem haben die Malzeichen im Rechengesetz Nr. 5 zwei verschiedene Bedeutungen:
Zahl mal Tupel bzw. Zahl mal Zahl;
ebenso die Pluszeichen im Rechengesetz Nr. 7:
Zahl plus Zahl bzw. Tupel plus Tupel.
| ADDITION von Tupeln | |
| 1. Kommutativgesetz: | |
| 2. Assoziativgesetz: | |
| 3. Neutrales Element: | mit |
| 4. Inverse Elemente: | mit |
| MULTIPLIKATION mit einer reellen Zahl | |
| 5. "Assoziativgesetz": | |
| 6. "Distributivgesetz I": | |
| 7. "Distributivgesetz II": | |
| 8. "Neutrales Element": |
Aufgabe 2
Beweise das Rechengesetz Nr. 6 für a, b und r .
Wie in Aufgabe 2 können auch die übrigen Rechengesetze bewiesen werden, indem man sie auf die Rechengesetze für reelle Zahlen und die Definitionen der Rechenoperationen für Tupel zurückführt.
Die SUBTRAKTION von Tupeln wird wie die Subtraktion reeller Zahlen definiert.
Definition:
Es seien ;
dann ist jenes Tupel , für das gilt.
Aufgabe 3
indem du die einzelnen "Koordinaten" des gesuchten Tupels x berechnest.Beweise: ,
Rechne nach (wie in Aufgabe 2):
In gilt (wie in ): .
Bemerkung:
Diese Formel folgt schon aus der Definition der Subtraktion und den Rechengesetzen für die Addition.
Kommutativgesetz: ,
Addition von ,
Assoziativgesetz: ,
daraus folgt dann: und schließlich , q.e.d.