cilindersegment
Wat berekent Archimedes?
- Construeer een kubus.
- Construeer binnen de kubus een ingeschreven cilinder.
- Construeer in de kubus een schuin snijvlak door een van de zijden van de kubus en de evenwijdige aan deze zijde die het tegenoverliggende vlak doormidden snijdt.
- Dit vlak snijdt een stuk van de cilinder af (= cilindersegment).
- Vraag: Hoe groot is dit cilindersegment t.o.v. de kubus?
3D-venster
Het snijvlak snijdt van de kubus een driehoekig prisma af en bepaalt een parabool als snijlijn met de cilinder. Bij het aanklikken van het aanvinkvakje driehoeken worden in het 3D-venster van kubus en cilinder enkel nog het prisma en de parabool getoond. Daarnaast verschijnen twee driehoeken die je kan verschuiven door in het 2D tekenvenster de schuifknop te verslepen:
- De blauwe driehoek ABC is een verschuiving van het driehoekig zijvlak van het prisma.
- Deze driehoek snijdt de parabool in het punt P. Hiermee creëer je de groene driehoek ADP.
- links staat het bovenaanzicht waarin de van de driehoeken enkel de zijden [AB] en [AD] ziet.
- rechts zie je de twee driehoeken ABC en ADP in zijaanzicht.
berekening van cilindersegment
- Archimedes stelt vast dat voor elke doorsnede de driehoeken ABC en ADP zich verhouden als de lijnstukken [AB] en [AE]: en een berekening in het applet bevestigt dit.
- Daarom vertaalt hij deze bewering naar de objecten waarvan de doorsneden werden genomen: of omgekeerd
- De verhouding berekenden we al eerder als .
- Gevolg: .
- Het prisma is de helft van de halve kubus of dus .
- Het cilindersegment is dus