Secciones Cónicas
Palabras Claves: Cono, Cónicas, Circunferencia, Fórmula, Elipse, Hipérbola, Parábola
Se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
La Circunferencia
Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º.
La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia constante r, llamada radio, del centro (C).Los puntos de la circunferencia (x,y) son aquellos que cumplen la ecuación:
Esta ecuación reúne todos los puntos (x,y) que están a una distancia r del centro C.
En el caso particular de la circunferencia de centro (0,0), su ecuación viene dada por:
La Elipse
La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al eje, es decir, un plano que no sea paralelo ala generatriz del cono. Por tanto el ángulo de inclinación oscilará entre: 0<ß<90º.
Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante. Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripción son el centro O, el eje mayor AB, el eje menor CD, y la distancia focal, OF.
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:
(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1
Donde:
La Parábola
La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide con el ángulo de cono. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo trazo continúa hasta el infinito.
Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz.
Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura).
La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el eje de ordenadas es:
La Hipérbola
La hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas.
Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta es constante y además, menor que la distancia entre los focos.
Los elementos representativos de una hipérbola son: el centro, O; los vértices, así como la distancia entre los vértices y la distancia entre los focos.
La ecuación de una hipérbola que tiene por centro el (0,0) es:
La Circunferencia
Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º.
La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia constante r, llamada radio, del centro (C).Los puntos de la circunferencia (x,y) son aquellos que cumplen la ecuación:
Esta ecuación reúne todos los puntos (x,y) que están a una distancia r del centro C.
En el caso particular de la circunferencia de centro (0,0), su ecuación viene dada por:
La Elipse
La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al eje, es decir, un plano que no sea paralelo ala generatriz del cono. Por tanto el ángulo de inclinación oscilará entre: 0<ß<90º.
Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante. Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripción son el centro O, el eje mayor AB, el eje menor CD, y la distancia focal, OF.
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:
(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1
Donde:
- x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
- a : Semieje de abcisas
- b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a
La Parábola
La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide con el ángulo de cono. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo trazo continúa hasta el infinito.
Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz.
Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura).
La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el eje de ordenadas es:
La Hipérbola
La hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas.
Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta es constante y además, menor que la distancia entre los focos.
Los elementos representativos de una hipérbola son: el centro, O; los vértices, así como la distancia entre los vértices y la distancia entre los focos.
La ecuación de una hipérbola que tiene por centro el (0,0) es:
¨En esta animación mostramos como se corta un cono formando las diversas cónicas¨
¨Ejemplo de Como buscar la ecuación de la circunferencia, de la parábola y del elipse¨
Circunferencia
Parábola
Elipse
Actividades:
Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.
¿Cuáles son las diferentes cónicas que existen?
Vink alles aan wat van toepassing is
- A
- B
- C
- D
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3,4) y radio r=2
Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz:
Vink alles aan wat van toepassing is
- A
- B
- C
¿Cuál de las cónicas representa esta imagen?
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- A
- B
- C