circles on hyperboloid 1-sheet
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 23. Juli 2020
Thema dieses Kapitels ist die Frage nach Kreisen auf Flächen im Raum, welche ein 6-Eck-Gewebe bilden.
Die Vermutung besteht, dass 6-Eck-Gewebe aus Kreisen im Raum nur auf DARBOUX Cycliden existieren
- wenn man von der Kugel absieht:
BLASCHKEs Frage nach 6-Eck-Geweben aus Kreisen auf der RIEMANNschen Zahlenkugel ist wohl noch immer ungeklärt!
Kreise auf DARBOUX Cycliden findet man, indem man doppelt-berührende Kugeln aufspürt:
- Doppelt-berührende Kugeln schneiden DARBOUX Cycliden in Kreisen!
Dies zeigt sich besonders auffällig bei einschaligen Hyperboloiden, welche möbiusgeometrisch
spezielle DARBOUX Cycliden sind.
Ein einschaliges Hyperboloid besitzt 3 Symmetrie-"Kugeln" - üblicherweise sind das die Koordinaten-Ebenen.
Als Schnitte mit diesen Symmetrie-Ebenen erhält man eine Ellipse und 2 Hyperbeln.
Diese Kegelschnitte besitzen jeweils 3 Scharen doppelt-berührender Kreise, die Tangenten mit eingerechnet - ist
möbiusgeometrisch sowohl ein doppelt-zählender Brennpunkt als auch ein Punkt der Kurve:
man invertiere einen Kegelschnitt!!
Setzt man diese doppelt-berührenden Kreise orthogonal zu den Koordinatenebenen als Kugeln fort,
so erhält man die gesuchten doppelt-berührenden Kugeln!
Im Applet oben erkennt man die Schnitt-Kreise - oder Geraden!
Obwohl unterschiedlich konstruiert, gehören manche Schnittkreise zu denselben Kreisscharen.
Auf einschaligen Hyperboloiden gibt es 4 verschiedene Kreis- bzw. Geradenscharen.
Aus diesen lassen sich 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden: die 4.-te Schar ist jeweils Diagonalschar der anderen 3 Scharen!