Lámpara hexagonal. Mirada matemática

Al modelizar la lámpara, parecía que, al visualizarla en perpendicular desde arriba, debía verse una estrella de David (dos triángulos equiláteros simétricos). Pero tomando mediciones precisas, no resultó ser así

1. ¿Cuál debería haber sido la medida del lado mayor para que esto fuese así?
2. Utiliza tu vocabulario matemático para nombrar los demás tipos de polígonos que forman las varillas esta lámpara. Hay varios que son isósceles. Justifica por qué.
3. Identifica cuántos planos de simetría tiene nuestra lámpara. ¿Tiene algún eje de simetría? ¿y centro de simetría? Justifica las respuestas.
4. Si tienes conocimientos de trigonometría, utilízalos para calcular el radio de los polígonos regulares (distancia del centro a cada vértice) y la longitud de las varillas. Puedes marcar la casilla "Datos" para comprobar tus resultados. Las casillas permiten introducir funciones trigonométricas. Recuerda que al entregar la respuesta a esta pregunta, debes indicar el proceso que has seguido para el cálculo.
5. Con la información anterior (puedes usar los datos ofrecidos al marcar la casilla "Datos"), ¿cuántos cm de tubo de latón son necesarios para crear esta parte de la lámpara?
6. Igualmente, si queremos recubrir el lateral de la tulipa con algún tipo de material, ¿cuántos cm² necesitaremos? No cubriremos la parte superior para dejar salir el calor de la bombilla, ni la inferior, para conectar la bombilla. Recuerda que, para figuras tridimensionales, denominamos apotema al segmento que nos daría la altura de la correspondiente figura plana, y que necesitaremos para calcular su área. Para resolver el ejercicio, puedes usar el valor de estas apotemas que calcula el applet. Pero si has aprendido cómo calcularlas, indica cómo lo harías. Pista: necesitarás la fórmula de la distancia entre dos puntos del espacio o, directamente, usar el Teorema de Pitágoras.
7. Los triángulos formados con base el hexágono superior, dan la sensación de ser equiláteros, pero midiendo con precisión, comprobamos que no lo son. ¿Cuál debería haber sido la separación entre los hexágonos para que sí fuesen triángulos equiláteros? Indica el proceso de cálculo, utilizando trigonometría.

Es el momento de que realicemos nuestra propia versión de este modelizado. Así nos aseguraremos de entender bien la figura, los polígonos y las relaciones entre ellos, a la vez que aprendes a manejar GeoGebra y sus herramientas. Puede resultar cómodo utilizar secuencias, listas y coordenadas polares, pero puede hacerse sin ellos. En ese caso, el comando Rota(objeto, ángulo, centro) puede ser de utilidad. Podemos utilizar segmentos en lugar de cilindros para modelizar cada pequeño tubo de la lámpara. Indica aquí el enlace desde el que se puede acceder a tu modelizado.

• No te olvides de ocultar los elementos que no queremos que se vean (incluida la vista gráfica).
• No es necesario implementar las opciones de colores, polígonos o visualizar "datos".

Parece que los poliedros están más presentes a nuestro alrededor de lo que pensábamos. Ahora llega nuestro turno de buscar poliedros cerca nuestra. Vamos a localizar varios y hacer un pequeños análisis rápido. Simplemente:

• Haremos una foto del poliedro. Puede ser "aproximadamente" un poliedro; esto es, puede tener las esquinas redondeadas o estar "un poco inflado" (incluiso como un balón). Pero, por ejemplo, una botella no valdría, porque claramente tiene partes que deben ser redondas.
• Pueden poliedros simples como la goma de borrar o el cuaderno de clase. No es necesario recurrir a poliedros complicados como el icosaedro truncado, famoso porque a partir de él se fabrican las pelotas de fútbol.
• Calculamos el número de vértices, caras y aristas, para comprobar si cumplen la fórmula de Euler (deberían, salvo que tengan "agujeros").
• Intentaremos encontrar entre 4 y 6 poliedros diferentes entre los objetos cotidianos que nos rodean.