2.5.2 Startwert eine Exponentialfunktion bestimmen.
Im Abschnitt vorher hat man gesehen, das man jede Exponentialfunktion in eine natürliche Exponentialfunktion der Form umformen.
In diesem Abschnitt geht es darum, Situationen und Sachzusammenhänge mit einer natürlichen Exponentialfunktion zu simulieren.
Aufgabe 1 a)
Kreuzen Sie die richtigen Antwort an.
Erklärung für die Achsenspiegelung
Eine wichtige Frage, die sich hier stellt ist die Achsenspiegelung, wenn gilt.
Hier folgt die Erklärung mit folgendem Logarithmusgesetz:
Nehmen wir für a den Wert 0,5. Nun folgt daraus:
und schon sieht man das alle Zahlen zwischen 0 und 1 negative Logarithmuswerte geben:
Hier noch der allgemeine Beweis:
Bestimmung des Startpunktes
Die zweite Erkenntnis, die man aus dem Graphen ablesen kann ist das der Schnittpunk mit der y-Achse immer gleich ist. Dies bedeutet alle Funktionen schneiden die y-Achse im Punkt A(0|1).
Da man mit den natürlichen Exponentialfunktionen Prozesse simulieren möchte. Man verwendet aufgrund der Sachzusammenhangs meistens die Variable t (für Zeit) statt x. Die Zeit beginnt zum Beobachtungszeitpunkt bei t=0. So liegt der Startpunkt bei f(0)!
Nun soll aber nicht immer gelten, sondern ! Beachten Sie bitte, dass der Parameter a nichts mit dem vorher erwähnten Parameter a zu tun hat, sondern jetzt neu eingeführt wird! In Analogie zum Abschnitt 2.4.2 Wirkung des Parameters a auf die e - Funktion.
Hier finden Sie nochmal die entsprechende Geogebra-Datei:
MERKE:
Man erkennt mit Hilfe des Applets (Geogebra-Datei), dass für den Startwert der Funktion f mit gilt:
Normalerweise werden bei solchen Prozessen die Variable t für die Zeit verwendet: