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Die LIE-Algebra

Author:Walter Füchte
Im vorangegangenen Applet haben wir das Übertragungsprinzip der Punkte aus in den komplex-3-dimensionalen Vektorraum vorgestellt:
  • , kann als parabolisches Kreisbüschel mit als Berührpunkt gedeutet werden.
Für zwei Punkte ist das LIE-Produkt erklärt:
  • mit und für .
kann als elliptisches Kreisbüschel durch gedeutet werden. ist das polare hyperbolische Kreisbüschel. Für 4 verschiedene Punkte ist
  • , wobei das komplexe Doppelverhältnis der 4 Punkte ist.
Daher ist genau dann, wenn die Punkte-Paare sich harmonisch trennen. Insbesondere sind sie dann konzyklisch! Zur Abkürzung schreiben wir für die 4 Punkte oben im Applet: und . Analog für die 3 möglichen Permutationen der Indizes. Nach den Regeln für das LIE-Produkt (bzw. für das Kreuz-Produkt) gelten:
  • und
Die 3 Vektoren bilden eine orthogonale Basis, ihre Büschelpunkt-Paare können durch eine geeignete Möbiustransformation auf die Punkte-Paare abgebildet werden. Da die vorgegebenen Punkte harmonisch getrennt zu den ON-Punkte-Paaren liegen, bildet die Möbius-Transformation sie ab auf komplexe Punkte für ein geeignetes . link: geogebra-book Möbiusebene chapter Geradenraum Für Berechnungen, die mit Kreisbüscheln zu tun haben, ist das Rechnen in der LIE-Algebra der genau-passsende Geometrie-Kalkül. (Nach dem äußerst lesenswerten Vorbild "Geometrie-Kalküle" von Jürgen Richter-Gebert und Thorsten Orendt 2009) Ein Beispiel: für besitzt die komplex-quadratische Gleichung - genau eine doppelt-zählende Lösung , wenn ( parabolisches Kreisbüschel ) - bzw. zwei verschiedene Lösungen , wenn ( die Grundpunkte eines elliptischen Kreisbüschels ) Hilfsmittel? : die komplexe p-q-Formel!

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