Доказательство третьего признака равенства треугольников

Рассмотрим треугольники и у которых , , . Докажем, что .

Приложим треугольник к треугольнику так, чтобы вершина совместилась с вершиной , вершина — с вершиной , а вершины и оказались по разные стороны от прямой . Возможны три случая: луч проходит внутри угла ; луч совпадает с одной из сторон этого угла; луч проходит вне угла . Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны и , и равны, то треугольники и — равнобедренные (см. рисунок к случаю 1). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника (, , поэтому . Итак, , , . Следовательно, треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.