Projeção estereográfica inversa da espiral logarítmica
Problema
Apresentar a projeção estereográfica inversa de uma espiral logarítmica sobre a esfera de raio .
Observação
Existe uma animação feita por Erik Mahieu com o Mathematica:
https://demonstrations.wolfram.com/InverseStereographicProjectionOfTheLogarithmicSpiral/
Procedimento
Considere como um ponto com coordenadas .
Uma parametrização da espiral logaritmica no plano que passa pelo ponto é dada da seguinte maneira:
,
onde pertence ao intervalo .
Dado um ponto qualquer , com coordenadas , a inversa da projeção estereográfica do ponto à esfera de raio é o ponto com coordenadas:
Em particular, usamos essas coordenadas para determinar a imagem dos pontos da espiral logaritmica na esfera de raio .