Grenzwerte und Asymptoten
Testen Sie: Was passiert mit dem Funktionswert, wenn ...
Grenzwert
Nähert sich eine Funktion für sehr große und/oder sehr kleine x einem fest Wert (hier 3) an, so nennt man diesen Wert Grenzwert. Man schreibt entweder:
für
Oder:
sprich: "Der Limes von f(x) für x gegen unendlich ist drei."
Weiß man den Grenzwert nicht auswendig (bei unverschobenen Hyperbeln ist er z.B. immer 0), so kann man ihn entweder durch ausprobieren ermitteln, das heißt mittels Taschenrechner (siehe oben), oder mittels logischer Überlegung.
Welche Grenzwerte sind richtig?
Waagrechte Asymptote
Hat eine Funktion einen Grenzwert, so nähert sie sich beliebig genau einer waagrechten Geraden an (im obigen Beispiel der Geraden mit Gleichung y = 3). Die Gerade nennt man waagrechte Asymptote.
Senkrechte Asymptote
In obigem Beispiel gilt:
für und (das heißt, wenn man sich der Definitionslücke von links nähert)
und
für und (von rechts kommend).
Geht der Funktionswert bei einer Definitionslücke gegen Unendlich, so nennt man diese Definitionslücke auch Polstelle.
Der Graph nähert sich hierbei der senkrechten Geraden (in unserem Beispiel der Geraden mit Gleichung x = -2) beliebig genau an. Man nennt diese Gerade folglich senkrechte Asymptote.
Asymptoten bestimmen
Ermitteln Sie alle Asymptoten der Funktionen f, g und h, deren Graphen oben abgebildet sind. Verwenden Sie die korrekte mathematische Syntax.