9.2 Quádricas

A equação geral do 2º grau nas três variáveis , e : [1], onde pelo menos um dos coeficientes , , , , ou é diferente de zero, representa uma superfície quádrica ou simplesmente uma quádrica. Observemos que se a superfície quádrica dada pela equação [1] for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano. Através de mudanças de coordenadas (rotação e/ou translação), a equação [1] pode ser transformada em uma das formas: [2] Ou: [3]

Onde a equação [2] representa uma quádrica centrada e as equações [3] quádricas não centradas. No caso de [1] a quádrica estaria centrada na origem. Uma quádrica com centro em é dada por: Para facilitar a escrita, vamos mostrar as quádricas com centro na origem.

Se nenhum dos coeficientes da equação [2] for nulo, ela pode ser escrita sob uma das formas: Denominadas, qualquer delas, forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Se os coeficientes forem todos negativos, não existe lugar geométrico. Vamos analisar as possibilidades de combinações.

Superfície representada pela equação , e são reais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsoide. Se , temos uma esfera.

Ao longo do eixo z: Ao longo do eixo y: Ao longo do eixo x:

Ao longo do eixo z: Ao longo do eixo y: Ao longo do eixo x:

Se nenhum dos coeficientes dos termos do 1º membro das equações [3] for nulo, elas podem ser escritas sob uma das formas: ; ;

Vamos analisar as possibilidades de combinações:

Ao longo do eixo z: Ao longo do eixo z: Ao longo do eixo z: Quando o paraboloide é circular.

Ao longo do eixo z: Ao longo do eixo z: Ao longo do eixo z:

É uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta curva. A reta é denominada geratriz, a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado é o vértice da superfície cônica. Consideramos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse (ou circunferência) com o vértice na origem do sistema e com o seu eixo sendo um dos eixos ordenados. Nestas condições: Cone ao longo do eixo z: Cone ao longo do eixo y: Cone ao longo do eixo x:

Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à reta fixa f em contato permanente com a curva plana C. A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica. Vamos considerar apenas as superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenado não contido no plano. Neste caso, a equação da superfície cilíndrica é a mesma de sua diretriz. Por exemplo, se a diretriz for a parábola: , a equação da superfície cilíndrica também será . Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada de circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.