confocal Darboux cyclides 1-sheet
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 17. März 2020
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebrabooks DARBOUX Cycliden & Bizirkulare Quartiken (August 2020)
Eine 1 - teilige Darboux Cyclide und dazu konfokale Cycliden
Was gibt es oben eigentlich zu sehen? Eine Darboux Cyclide ist eine Fläche im Raum. Für diese wissen wir keine Parameterdarstellung, sondern nur eine Gleichung 4. ter Ordnung, die von geogebra nicht mehr (?) angezeigt wird. Links werden in der -Ebene als Grundfläche die Schnittkurve (hell) mit der -Ebene - und die Schnittkurven mit der -Ebene (grün) und der -Ebene (rot) als implizite Kurven dargestellt. Mit StartAnimation werden die Höhenlinien für die Höhe hz gezeichnet: hz mit Werten um 0.
Die Höhenlinien bleiben als Spur zu sehen. vhz beeinflußt die Geschwindigkeit von hz, step die Schrittweite. Leider zeichnet geogebra keine impliziten Kurven in der - bzw. der -Ebene(?).
Erklärung:
Besitzt eine Darboux Cyclide (siehe dazu die vorangegangene Seite) 3 reelle Symmetrie-Kugeln, aber nicht mehr als diese, so kann man mit einer geeigneten räumlichen Möbius-Transformation die Koordinatenebenen als diese "Symmetrie-Kugeln" wählen.
Die bizirkulare Quartik-Gleichung reduziert sich dann auf den Typ:
Der Quadrik-Fall wird auf der Seite Darboux Cycliden aus Kegelschnitten behandelt. Für kann man mit geeigneter Streckung/Stauchung erreichen.
Im obigen Applet kann man entweder
- in der -Ebene die Brennpunkte , die Scheitel auf der -Achse und dazu die Variable
variieren (-Ebene betrachtet als komplexe Zahlenebene )
oder aber
- die 3 Koeffizienten variieren. (Die Logik dahinter ist kompliziert, richtige Ergebnisse sind nicht unbedingt garantiert!)
Der Zusammenhang ergibt sich aus den Formeln, die wir nur für die -Ebene anführen: die 3 Ebenen sind gleichberechtigt!
- , ist der Scheitel auf der -Achse:
- und daraus (Brennpunkte auf
der -Achse in der -Ebene); Brennpunkte auf der -Achse sind dann ; mit .
Wie man sieht, reduziert sich alle Rechnung auf einfache biquadratische Gleichungen und Lösung mit der -Formel!
Auf jeder Achse erhält man 2 Brennpunkt-Paare. Durch die variable Wahl eines Scheitels auf der -Achse ergeben sich bei gleichbleibenden Brennpunkten konfokale Darboux Cycliden.
Alle sind vom 1-teiligen Typ!  |
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