外接四角形の対角線の証明
相似の中心の応用
ここでは外接四角形の性質について証明し、その後、その極線について証明する。
外接四角形の性質とは、
「円に外接する四角形ＡＢＣＤの接点をＥＦＧＨとすれば、ＡＣ，ＢＤ，ＦＨ，ＥＧは一点に会する。」
このことを証明するために「相似の中心」を利用する。
外接四角形の対角線がＯを通ることの証明
証明（相似の中心の応用）
まず、ＦＨとＥＧの交点をＯとして、ＡＣがＯを通ることを証明する。
そのために、ＣからＡＤ，ＡＢに平行線を引いて、ＦＨ，ＥＧの延長線との交点をＫ，Ｊとすれば、
図のように、角度と長さがそれぞれ等しくなり、
△ＣＫＪは二等辺三角形となる。
そして、△ＡＥＦ∽△ＣＫＪとなり、対応する２辺がそれぞれ平行な二等辺三角形となる。
したがって、この二つの三角形は相似の位置にあり、
二つの三角形において、対応辺がそれぞれ平行ならば対応頂点を結ぶ３直線は一点で会するので、
Ｏは相似の中心であり、ＡＣもまたＯを通る。
同様に、ＢＤもまたＯを通る。
外接四角形と接点の作る内接四角形の極線が一致することの証明
外接四角形の極線と接点の作る内接四角形の極線が一致することの証明
上の図で、外接四角形の極線の上にＫがあることを証明する。
ただし、ＭＯの極をＫとする。
ＫがＨＧ上にあることは明白。
さらにＩの極線とＨＧが一致することも明白。
最初に証明したことから、対応する接点と対角線が一点Ｉ（極）で交わる。
Ｏの極線はＣＦで、Ｎの極線はＥＤなので、その交点の極線はＭＯを通る。
したがって、Ｍの極線とＯの極線の交点とＫは一致する。
よって、Ｋからの接線の接点Ｐ，ＱはＭＯ上にある。
Ｈ，Ｋ，Ｇは一直線上にあり、もう一つの点Ｊもこの極線上にある。
次は、ＬＮがＫを通ることを示す。
ＭＯとＩの極線ＨＧの交点をＪとすると、上の議論でＪの極線はＩＫであり、ＬＮでもある。
よって、ＩＫとＬＮは一致し、ＬＮはＫを通る。
このように、極線を使うと証明が簡単になる。
なお、極と極線については、「円の極と極線の性質」を見てください。