Parameter der Funktionsgleichung bei gegebener Kettenlänge
IX. Anhang
Parameter der Funktionsgleichung bei gegebener Kettenlänge und beliebiger Aufhängung
Allgemeine Funktionsgleichung
Die Aufhängepunkte A=(c1|h1) und B=(c2|h2) der Kette liegen jetzt nicht auf gleicher Höhe.
Daher liegt der Tiefpunkt oder Scheitelpunkt S nicht mehr beim Mittelwert der x-Koordinaten von A und B.
Die Funktion für die Kettenlinie ist nicht mehr symmetrisch zur y-Achse, sondern zur Vertikalen durch den Scheitelpunkt S.
Die x-Koordinate dieses Scheitelpunktes sei s.
Dann muss die Cosinus-Hyperbolicus-Funktion um s in x-Richtung verschoben werden.
Eine mögliche Funktionsgleichung ist
Hierbei bestimmt der Parameter a die Form der Cosinus-Hyperbolicus-Funktion durch Streckung um den Faktor a sowohl in x- als auch in y-Richtung.
Die beiden konstanten Summanden sorgen dafür, dass der Graph bei x=c1 zunächst bis auf die x-Achse heruntergezogen wird und anschließend auf die Höhe h1 nach oben geschoben wird, sodass die Funktion auf jeden Fall durch den Punkt A verläuft - unabhängig von den Werten der Parameter a und s.
Damit die Kurve bei vorgegebener Länge auch durch den Punkt B verläuft, müssen die Parameter a und s passend berechnet werden.
Es erfordert einigen Aufwand, eine Gleichung zu entwickeln, die nur den Parameter a als Unbekannte enthält, aber nicht s.
Vorbereitungen
Für die Länge der Kette zwischen den Punkten A und B gilt
Für den Höhenunterschied v der beiden Aufhängepunkte A und B gilt
Berechnung des Parameters a
In den beiden Gleichungen I und II werden die Argumente durch folgende Substitutionen ersetzt:
Damit erhält man eine übersichtlichere Darstellung der beiden Gleichungen:
Beide Gleichungen werden quadriert.
Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
Umsortieren der Terme führt zu
Mit den Formeln
und
.
aus dem Kapitel II. Mathematischen Grundlagen vereinfacht sich die Gleichung zu
und somit zu
Jetzt werden und resubstituiert.
Mit c2-c1=u erhält man nun für a die Gleichung
Nach der Formel
aus den Mathematische Grundlagen kann die Gleichung vereinfacht werden zu
Sind die drei Werte von Länge l der Kette, Abstand u der Pfeiler und Höhenunterschied v der Aufhängepunkte bekannt, so kann jetzt mit Gleichung V der formgebende Parameter a bestimmt werden.
Berechnung des Parameters s
Aus dem Gleichungssystem mit den Gleichungen I und II aus dem obigen Abschnitt Vorbereitungen
lässt sich eine Gleichung für s gewinnen.
In beiden Gleichungen wird jetzt c1 ersetzt. Wegen u = c2-c1 ist c1 = c2-u.
oder besser
Nun werden beim zweiten Summanden in beiden Gleichungen die Additionstheoreme angewendet, nämlich
und das ergibt
In beiden Gleichungen werden die ersten beiden Terme zusammengefasst:
Jetzt wird substituiert mit und :
Die Gleichungen werden voneinander subtrahiert:
Dabei ist
Also ist
Resubstitution führt zu
Der Term kann wieder durch ersetzen werden, und man erhält
Jetzt verwenden wir im Zähler auf der rechten Seite :
So wie bei den trigonometrischen Funktionen und (Cotangens) gilt, definiert man auch für die hyperbolischen Funktionen und .
Damit erhalten wir
Auflösen nach s ergibt schließlich
Lässt man am Beginn der Berechnung die x-Koordinate c1 in den beiden Gleichungen stehen und ersetzt c2 durch c1+u, so erhält man eine ähnliche Formel für s, nämlich