Kegelschnitte als Limit
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (02. Juni. 2022) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze
Läßt man den Punkt gegen wandern, so fallen und und zusammen, der 2-te Teil der Quartik
schrumpft ebenfalls in diesen Grenzpunkt zusammen: der Grenzpunkt ist sowohl doppelt-zählender Punkt der
Quartik wie auch doppelt-zählender Brennpunkt.
Wählt man den Grenz-Punkt als , so ergibt sich ein Mittelpunkt-Kegelschnitt, der den Fernpunkt
möbiusgeometrisch als doppelt-zählenden Brennpunkt, und als doppelt-zählenden Kurvenpunkt besitzt.
Im Applet oben sind fixiert, den Scheitelpunkt s und den Symmetrie-Punkt kann man bewegen.
Nach W. Wunderlich besitzt eine 2-teilige bizirkulare Quartik 4 konzyklische Brennpunkte, 4 paarweise
orthogonale Symmetrie-Kreise (einer davon imaginär) und 4 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen.
Jede dieser Scharen gehört zu einer der 4 Symmetrieen. Ein Besondres Dreiecksnetz aus Kreisen
Aus den 3 im Äußeren liegenden Scharen von doppelt-berührenden Kreisen kann man 6-Eck-Netze konstruieren.
Das Innere der Quartik ist das Gebiet, welches die Brennpunkte enthält!
Durch jeden Punkt im Äußeren gehen aus jeder der 3 Scharen genau 2 Kreise: das ergibt 23 = 8 verschiedene 6-Eck-Netze!
Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise
Einer der Brennpunkte (hier ) wird ausgewählt.
Alle Konstruktionen beruhen auf einer zentralen Eigenschaft der doppelt-berührenden Kreise:
- Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Kreisen einer Symmetrie, so liegen die Bild-Punkte auf einem Kreis: dem zu und der Symmetrie gehörenden Leitkreis.
- Umgekehrt kann man zu den Punkten des Leitkreises die zugehörenden doppelt-berührenden Kreise konstruieren.
- durch jeden Punkt der Ebene und zu 2 verschiedenen Punkten und gibt es genau einen Kreis aus dem hyperbolischen Kreisbüschel um und , der durch geht. Die Spiegelung an diesem Kreis vertauscht die Punkte und .
Im Applet oben ist die Hauptachse - der Kreis durch die Brennpunkte - die -Achse.
Der 2. Symmetriekreis ist der Mittellotkreis von und durch .
Der 3. reelle Symmetriekreis wird mit Hilfe der BrennPunktsKreise konstruiert.
Der bewegliche Scheitel s ist vorgegeben, durch Spiegelungen erhält man die anderen Scheitelpunkte
und die Scheitelkreise.
Die Spiegelungenn des Brennpunkts an den Scheitelkreisen liefert die zur -Achse symmetrisch liegenden Leitkreise.
Mit ihrer Hilfe werden die doppelt-berührenden Kreise und die bizirkulare Quartik als Ortskurve "konstruiert".
Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise durch einen Punkt :
Jede Schar doppelt-berührender Kreise ist durch eine der Symmetriekreise charakterisiert: sei einer der Spiegelpunkte.
Der Mittellotkreis von und durch schneidet den zugehörigen Leitkreis in den Punkten und .
Die gesuchten doppelt-berührenden Kreise ergeben sich aus der Symmetrie als Mittellotkreise von und ,
bzw. von und .
Das Verhalten der Leitkreise in der Grenze hat uns überrascht: nur einer der Leitkreise (L1) geht in die Leitgerade über;
die beiden anderen Leitkreise (L2 und L3) fallen in den Leitkreis des Kegelschnitts zusammen.
Dies erklärt, dass 2 Tangenten und ein doppelt-berührender Kreis durch die einzelnen Punkte ein 6-Eck-Netz aufbauen können:
in jeder Tangente fallen 2 doppelt-berührende Kreise aus 2 verschiedenen Scharen zusammen!
Dazu ist festzuhalten: mit 2 doppelt-berührenden Kreisen durch einzelne Punkte aus derselben Schar kann man
kein 6-Eck-Netz konstruieren, weder bei 2-teiligen Quartiken noch bei Kegelschnitten.