Avisos y abusos
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
A lo largo de este libro, representaremos cada vector como matriz columna (en vez de matriz fila). Esta notación coincide con la que usa por defecto GeoGebra, tanto para los vectores en sí como para la construcción de la matriz de transformación afín T que usaremos. Una notación alternativa, con vectores fila, es igualmente posible: basta transponer todas las matrices y permutar todos los productos de matrices en este libro. Ahora bien, en este caso no se podría usar directamente el comando AplicaMatriz de GeoGebra.
Además, cometeremos un abuso de notación y un abuso de lenguaje. Entendemos justificados (y, por otra parte, habituales) tales abusos en aras de una simplificación de la exposición.
Sea P un punto del plano, de coordenadas px y py. Realizaremos un abuso de la notación cuando denotemos por P tanto al punto del plano como a su vector de posición p= y como al vector de coordenadas homogéneas. A la vez, estaremos realizando un abuso de lenguaje cuando llamemos "punto" a cualquiera de los dos vectores anteriores (si bien el término "punto" podría interpretarse, en el último caso, como "punto proyectivo").
Tales abusos, que simplifican notablemente la exposición, no deberían llevar a la confusión si se observa el contexto en el que se producen.
Concretando: más adelante, denominaremos M a cierta matriz 2x2 y T a cierta matriz 3x3 (ampliada a partir de M). Así, el producto de matrices M P (dimensiones 2x2 por 2x1) solo tiene sentido si interpretamos P como su vector de posición p, mientras que el producto T P (dimensiones 3x3 por 3x1) solo puede realizarse si interpretamos que en este caso la notación P alude al vector de coordenadas homogéneas correspondiente a p.
GeoGebra admite directamente el primer abuso: si en la Barra de Entrada escribimos P' = M P, no tiene inconveniente en "entender" que, para poder realizar ese producto, P ha de referirse a una matriz 2x1, es decir, a un vector columna. Tampoco suele tener problemas en admitir el segundo abuso: si escribimos P' = T P puede adivinar (aunque no siempre) que ahora estamos trabajando con coordenadas homogéneas.
De hecho, GeoGebra dispone de un comando específico para realizar correctamente estas interpretaciones de los productos M P y T P en cualquier circunstancia. Se trata del comando AplicaMatriz: AplicaMatriz(M, P) y AplicaMatriz(T, P), que se puede aplicar tanto a puntos como a imágenes.
Finalmente, para evitar frecuentes perífrasis innecesarias, emplearemos ciertos abusos habituales en los textos divulgativos que no emplean una rigidez formal, como por ejemplo aludir a una función f mediante su imagen y=f(x) o su gráfica.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.