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Conchas de Caracol, hélices y sacacorchos

Estas superficies se obtienen al hacer girar una circunferencia o una elipse alrededor de un eje, al tiempo que la trasladamos en la dirección de ese eje, aumentamos su tamaño y la alejamos del eje.
  • Según La forma de hacer las traslaciones y aumentar el tamaño, la superficie tendrá una forma diferente.
  • Más concretamente, dependiendo de si los diámetros y la distancia al eje son constantes o no, obtendremos conchas de caracol, hélices, toros, etc.
En la siguiente actividad podemos ver una concha de caracol:

Concha de caracol de crecimiento exponencial

Deducción de las ecuaciones paramétricas cartesianas

Para generar una concha de caracol, podemos partir de una circunferencia o una elipse y
  • hacerla girar n veces alrededor de un eje,
  • a la vez que aplicamos una traslación en la dirección del eje.
  • Como la sección de la concha va disminuyendo/aumentando, también aplicamos un factor de escala. Mantenemos las circunferencias tangentes al eje de rotación.
  • En la última vuelta, el centro de la correspondiente circunferencia estará a una altura y una distancia del eje.
  • Por ejemplo, podemos utilizar crecimiento exponencial, con funciones como , o bien , o cualesquiera otras crecientes que se anulen para u=0 y, para valgan y , respectivamente.
Con esto, una modelización de la concha de caracol en ecuaciones paramétricas cartesianas sería

  • Los factores cos(u) y sen(u) que aparecen en las expresiones para x e y, son los utilizados para girar alrededor del eje que, en este caso, se ha tomado vertical.
  • Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio r(u) correspondientes a cada ángulo girado u, utilizando la componente z.
    • Para ello, incluimos el factor r(u)·sen(v) en esa componente z.
    • Para que sean tangentes al eje, deben distar de él f(u), por ser ese su radio. Así que, en las componentes x e y, aparece el factor que también podríamos reescribir utilizando la identidad .
  • Si queremos que las secciones resulten elipses, tales que el cociente entre su eje vertical y horizontal sea k, bastará con reemplazar la expresión de z por z=h(u)+k · r(u)·sen(v).
Fotografía de [url=https://www.geogebra.org/u/deborapereiro]Débora Pereiro[/url].
Fotografía de Débora Pereiro.

Generalizaciones

Podemos separar el centro de cada circunferencia una distancia R(u) del eje sin más que reemplazar el sumando r(u) por R(u) en las expresiones de x e y antes de multiplicar por cos(u) y sen(v). En particular, tomando
  • Una vuelta (n=1), el radio de cada circunferencia constante r, una separación constante R y altura h=0, tendremos la ecuación del toro.

  • Tomando el radio y separación de cada circunferencia constante y lineal, resulta una hélice de radio de giro R, sección de radio r y n vueltas de paso h.

  • Tomando como R una función lineal, tendríamos una hélice cónica.
Con la siguiente actividad, podemos explorar algunas posibilidades:

Hélices generalizadas

Sacacorchos

Otro caso particular serían las superficies tipo "sacacorchos", que se obtienen como las anteriores, pero situando el centro de las circunferencias sobre el eje (R=0). La ecuación paramétrica resultaría, por tanto: