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"elliptisch" oder "hyperbolisch"?

Autor:Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebrabooks Möbius-Werkzeuge circle tools (Mai 2021)

Diese Seite ist auch ein Teil des geogebra-books Moebiusebene

Grund für diese Aktivität: wir haben bisher die Begriffe "elliptische Kreisbüschel" und "hyperbolische Kreisbüschel" entgegen den in der Literatur üblichen Gepflogenheiten verwendet. Das ist etwa vergleichbar der Frage: Warum heißt >links< "links" und >rechts< "rechts" und nicht andersherum? Wir arbeiten daran, die Begriffe den üblichen Gepflogenheiten anzupassen, im Übergang wird es zu Unstimmigkeiten kommen!


"elliptisches Kreisbüschel"



"hyperbolisches Kreisbüschel"

Auf der Suche nach einer Klärung dieser Begriffe findet man im deutschsprachigen wikipedia eine auffällige Vermeidung der Begriffe. In en.wikipedia wird unter pencil of circles ("Kreisbüschel") die abgebildete Unterscheidung getroffen: - elliptisch sich schneidende Kreise, - hyperbolisch sich meidende Kreise In Fachartikeln finden sich teils die obige, teils die entgegengesetzte Verwendung der Begriffe. In Fach-Büchern werden auffällig oft die Begriffe vermieden (zB. K. Kommerell "Vorlesungen über analytische Geometrie der Ebene": auf vielen Seiten über Kreisbüschel werden diese nur als sich schneidende, bzw. sich meidende Kreise charakterisiert. Für beide Verwendung der Begriffe gibt es Erklärungen: Coxeter in "Unvergängliche Geometrie" begründet die oben abgebildete Einteilung mit Inversionen Kreisspiegelungen):
  • Die Hintereinanderausführung der Inversionen an 2 sich schneidenden Kreisen ergibt eine Drehung ("Kreisbewegung") um die Schnittpunkte.
  • Die Hintereinanderausführung der Inversionen an 2 sich meidenden Kreisen besitzt 2 Fixpunkte, nämlich die Grundpunkte des Büschels; es ergibt sich eine "Streckbewegung".
Viele Autoren wie auch wir bisher betrachten die Kreisbüschel dynamisch oder kinematisch:
  • Ein Büschel von sich meidenden Kreisen besteht aus den Bahnkurven einer W-Bewegung, d.i. eine Ein-Parameter-Untergruppe der Möbiusbewegungen: in diesem Fall aus den Drehungen um die Grundpunkte des Büschels.
  • Ein Büschel von sich schneidenden Kreisen besteht aus den Bahnkurven einer W-Bewegung des Typs: Streckung aus dem einen Büschelpunkt in Richtung des anderen Büschelpunktes.
Wir versuchen auf unseren Seiten zur oben angezeigten "üblichen" Nomenklatur zu wechseln. Solange dies noch nicht der Fall ist, machen wir dies auf den Seiten kenntlich!


Nach der "üblichen" Nomenklatur ist - möbiusgeometrisch - das Büschel der Usprungsgeraden ein elliptisches Kreisbüschel



das Büschel der konzentrischen Kreise um den Ursprung ein hyperbolisches Kreisbüschel.

Die Unterscheidung "elliptisch" - "hyperbolisch spielt auch bei Differentialgleichungen eine Rolle: Dies verdeutlicht die Irritationen, die durch die Festlegung auf eine der möglichen Definitionen entstehen können: Die Grundpunkte eines hyperbolischen Kreisbüschels sind elliptische Fixpunkte der Bewegung!
Differentialgleichung für die z-Ebene , Lösungen sind die Kurven: , bzw. die komplexe Funktion: mit Differentialgleichung in der p-Ebene: , Lösungen sind die Kurven: bzw. die komplexe Funktion: mit

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