Das π und Euler
Die Baseler Mathematiker
Im 18. Jahrhundert gehörte Basel in der Schweiz zu den Zentren der Mathematiker, zu den auch Leonard Euler gehört, der in Basel geboren wurde. In der Tradition der zeit stand, dass Probleme durchaus nach den Städten benannt wurde, in denen daran gearbeitet wurde, wie das Basler Problem, das im nachfolgenden Applet skizziert wird.
Um zu verstehen, um was es geht hier ein kleiner Einstieg:
Wenn man alle Brüche der Form (Diese Brüche heißen Stammbrüche!), mit n addiert, lässt sich schnell erkennen, dass diese Summe unendlich groß wird:
1 +
Es lassen sich also immer Teilsummen bilden, die größer als sind, so dass es darauf hinausläuft, mindestens den Bruch unendlich oft aufzuaddieren, was natürlich gegen unendlich wächst. Dann müssen Summen, die größer als sind, erst recht gegen unendlich wachsen. Man sagt, die Reihe divergiert. Diese Reihe nennt man die harmonische Reihe. Wenn Ihnen diese Begründung zu zahlenlastig ist, nutzen Sie das 2. Applet am Ende dieses Kapitels, in dem die Divergenz der harmonischen Reihe geometrische visualisiert ist. Das die harmonische Reihe divergent ist, war den Mathematiker schon klar, aber gilt das auch, wenn man anstatt der Stammbrüche die reziproken Quadrate addiert? Erstaunlicherweise, konvergiert diese Summe gegen einen Grenzwert, nämlichViel wenig gibt ein Viel...
... ist eine allgemeine nichtmathematische Beschreibung dafür, dass man Kleinigkeiten nicht vernachlässigen sollte, weil viele Kleinigkeiten irgendwann auch richtig viel werden können, wenn auch sehr langsam.
Für die unendliche Reihe wurde zu Beginn dieses Kapitels mit Hilfe des Minorantenkriteriums gezeigt, dass die Summe gegen unendlich () wächst.
Das nachfolgende Applet zeigt eine geometrische Interpretation dieser Eigenschaft.