Experiment 3Pkt-Kreisbüschel 2
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des GeoGebra-books Sechsecknetze (Juli 2021) Diese Seite ist auch Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene Kapitel Sechseck-Netze
Drei verschiedene elliptische Kreisbüschel mit 3 Grundpunkten erzeugen ein 6-Eck-Netz aus Kreisen. Durch jeden Punkt, der nicht auf dem Kreis c durch die 3 Pole liegt, geht aus jedem der 3 Büschel genau ein Kreis. Ausgehend von 2 Punkten (im Applet etwas größer und beweglich!) auf einem der Kreise wird ein minimales 6-Eck-Netz aus Kreisen der 3 Büscheln und deren im Inneren des Kreises c liegenden Schnittpunkte gebildet. Diese Grundnetz besteht aus 3*5=15 Kreisen und 5+2*6+2*7+2*2+2+1=37 Schnittpunkten. Das Netz läßt sich durch einen weiteren Punkt pt am Rand fortsetzen: 3 Punkte bestimmen ein Kreis. Ist pt ein Netz-Punkt der 3 Büschel, so wird mit ihm das 6-Eck-Netz fortgesetzt. Bewegt man jedoch pt auf einem der Kreise der 3 Büschel, so ist nicht sicher, ob das entstehende Netz aus Kreisen weiter ein 6-Ecknetz bleibt. Bei Geraden-6-Eck-Netzen bestehen die auf anologe Weise fortgesetzten Netze aus den Tangenten an eine Kurve 3. Klasse und sind damit geradlinige 6-Eck-Netze (Satz von Graf&Sauer). Im Applet scheinen durch die Bewegung von pt Hüllkurven für die Kreise zu entstehen. Schrittweite für die Schalter +/- : 0.000000001 - bei größeren Schrittweiten können Rundungsfehler bei der großen Anzahl von Schnittpunktsberechnungen schnell chaotische Folgen zeitigen. Von welcher Art könnten diese Hüllkurven sein? Gibt es ein zirkulares Anologon zu den Kurven 3. Klasse, welche per definitionem algebraische Kurven sind derart, dass durch jeden nicht auf der Kurve liegenden Punkt der Ebene genau 3 Tangenten der Kurve gehen? Die Antwort auf die Frage von W. Blaschke (1938) nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen wird wesentlich komplexer sein als die von Graf&Sauer gefundene Antwort auf die Frage nach 6-Eck-Netzen aus Geraden. Beispielsweise besitzen 2-teilige bizirkulare Quartiken 4 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen. 3 der Scharen liegen auf derselben Seite der Quartik, durch jeden Punkt auf dieser Seite gehen genau 2 Kreise aus jeder der 3 Scharen. Daraus lassen sich auf 23 verschiedene Arten 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden (W. Wunderlich 1938). Literatur: siehe die Aktivität BLASCHKEs Frage & DARBOUX Cycliden