Grundbegriffe zum Thema Funktionen
Definition
Eine eindeutige Zuordnung der Elemente einer Menge X in eine zweite Menge Y heißt Funktion aus X in Y.
Die Definitionsmenge von f umfasst alle Zahlen aus X, denen ein y aus Y zugeordnet wird.
Die Zahlen x heißen auch x-Stellen oder Argumente der Funktion f. (Schreibweise: Df )
Die Wertemenge von f sind alle Zahlen aus Y, die als Bild einer Zahl aus X vorkommen.
Die Zahlen dieser Menge nennt man auch y-Werte oder Funktionswerte von f.
(Schreibweise Wf)
Durch die Zuordnung der Stelle x auf den Wert y entstehen geordnete Paare .
Diese Paare entsprechen Punkte in einem Koordinatensystem. Die Menge alle Punkte bildet den Graph der Funktion.
Beispiel
Durch die Funktionsgleichung wird jeder Zahl ihr Doppeltes zugeordnet.
Zur Zahl x=1 gehört die Zahl y=2, zu x=1500 gehört 3000, zu x=-1,5 gehört y=-3 usw.
Die zueinander gehörenden Zahlenpaare bilden die Funktion.
Jeder reellen Zahl kann verdoppelt werden, also ist die größte mögliche Definitionsmenge der Menge der reellen Zahlen. Als Wertemenge ergibt sich ebenfalls die gesamte Menge der reellen Zahlen.
Die Zahlenpaare können in einer Werteabelle strukturiert erfasst und in einem Koordinatensystem als Punkte graphisch dargestellt werden. Die Menge aller Punkte bildet den Funktionsgraph.
Für das Beispiel ergibt sich als Graph eine Gerade.
Aufgabe
Verändern Sie in der Funktionsgleichung die Zuordnungsvorschrift und untersuchen Sie die Auswirkung Ihrer Änderung.
wichtige Klassen von Funktionen
Die unendliche vielen verschiedenen Funktionen lassen sich in Klassen einteilen und damit systematisch untersuchen.
Eine übliches Merkmal zur Klassenbildung ist die Form des Funktionsterms.
Einige Beispiele sind
- lineare Funktionen: , mit
- quadratische Funktionen: mit
- Polynome : Produkte aus beliebig vielen quadratischen und linearen Funktionstermen; diese Produktdarstellung kann stets durch ausmultiplizieren der Klammern in eine Summendarstellung umgewandelt werden: mit den Koeffizienten
- Potenzfunktionen: mit
- rationale Funktionen: , wobei p und q Polynome mit ganzzahlige Koeffizienten sind
elementare Funktionseigenschaften
Wichtige Eigenschaften von Funktionen sind dabei- die Definitionsmenge
- die Wertemenge
- die Form des Graphen (z.B. gerade, gekrümmt, geöffnet nach oben oder unten, ...)
- der Verlauf des Graphen (steigend, fallend)
- Symmetrien (Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)
- die relative Lage des Graphen in Bezug auf das Koordinatensystem (Schnittpunkte mit den Achsen, parallel oder senkrecht zu einer Achse)
- charakteristische Punkte auf dem Graphen (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt, Symmetriepunkt)