Matriz simétrica y antisimétrica
Definición de matriz simétrica y antisimétrica y sus propiedades.
Definición de matriz simétrica
Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta:
Ejemplo
Ejemplo de matriz simétrica de dimensión 3:
Propiedades de las matrices simétricas
- La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
- La matriz adjunta de una matriz simétrica es también simétrica.
- La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
- Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
- Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
- Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir, .
- Toda matriz cuadrada A cumple que A + AT es simétrica.
Matriz antisimétrica
Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta:
Propiedades
- Toda matriz cuadrada A cumple que A - AT es antisimétrica.
- Toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.
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