Matriz simétrica y antisimétrica

Definición de matriz simétrica y antisimétrica y sus propiedades.

Definición de matriz simétrica

Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta:

Ejemplo

Ejemplo de matriz simétrica de dimensión 3:

Propiedades de las matrices simétricas

  • La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
  • La matriz adjunta de una matriz simétrica es también simétrica.
  • La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
  • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
  • Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
  • Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir, .
  • Toda matriz cuadrada A cumple que A + AT es simétrica.

Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta:

Propiedades

  • Toda matriz cuadrada A cumple que A - AT es antisimétrica.
  • Toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.