Középértékek 4.
Bevezető feladat
Gondoltad volna, hogy egy trapézban megjeleníthető akár négy nevezetes középérték is? Emellett a köztük fennálló nagyságrendi viszonyok is rögtön láthatók!
Egy szimmetrikus érintőtrapézban szeretnénk megjeleníteni az alapok felének különböző középértékeit.
Emlékeztető
Hogyan írható fel képlettel az és pozitív számok számtani (), mértani (), harmonikus () és négyzetes () közepét?
Az ábrán látható trapéz szimmetrikus (tehát húr-) trapéz és érintőnégyszög is egyben. Az pont a trapézba írható kör középpontját jelöli.
Az alapok hosszának felét -val, illetve -vel jelöljük.
1. feladat
Az (beírt kör középpontja) pontban a trapéz magasságára merőlegest állítunk, ez az szárat az pontban metszi. Mutasd meg, hogy az szakasz hossza éppen az és szakaszok hosszának számtani közepével egyenlő!
2. feladat
Mutasd meg, hogy a trapézba írt kör sugara (, ahol az érintési pont) éppen az és szakaszok hosszának mértani közepével egyenlő!
3. feladat
A pontból a trapéz szimmetriatengelyére bocsátott merőleges talppontja legyen ! (A pont egyben a trapéz átlóinak metszéspontja.)
Mutasd meg, hogy ekkor a szakasz hossza az és szakaszok hosszának harmonikus közepével egyenlő!
4. feladat
Végül az pontból a hosszabb alap irányában a kör átmérőjére felmérve egy hosszúságú szakaszt, és az így kapott pontot az ponttal (az szár felezőpontja) összekötve egy derékszögű háromszöget kapunk. Mutasd meg, hogy ennek az átfogója éppen az és szakaszok hosszának négyzetes közepével egyenlő!
5. feladat
Haladj végig a törött vonalon! Állapítsd meg, hogy milyen reláció áll fenn a következő középértékek között:
számtani-mértani, mértani-harmonikus, számtani-négyzetes!
6. feladat
Milyen összefüggés olvasható le a középértékek egymáshoz viszonyított nagyságáról,
adott és értékek esetén?
7. feladat
Mikor egyenlők ezek a közepek? Mit mondhatunk el ekkor a kiindulási trapéz speciális tulajdonságairól?