Triángulo de Sierpinski
El triángulo de Sierpinski
El matemático polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) es célebre por sus importantes aportaciones a la teoría de conjuntos, la topología y la teoría de números. Tres conocidos fractales llevan su nombre: la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski y la curva de Sierpinski. El triángulo fue descrito por este matemático en 1919 siguiendo el siguiente proceso: se parte (iteración ) de la superficie de un triángulo equilátero. Seguidamente (iteración ) se recorta el triángulo que tiene como vértices los puntos medios del anterior. Ahora (iteración ) se repite el proceso con cada uno de los tres triángulos que quedan.
En el siguiente applet se observan hasta siete iteraciones sucesivas. Si se repite infinitamente el proceso, se obtendrá una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.
Juega con el deslizador, determinado las iteraciones a través de las diferentes etapas. Atiende al triángulo de Sierpinski obtenido en cada etapa (iteración) para la posterior actividad. | Etapa | Número de triángulos naranjas que se construyen en la etapa | Longitud del lado del triángulo que se generan | Perímetro total de los triángulos que se generan | Área de los triángulos que se generan |
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a) ¿Cuál es la expresión que determina el número de triángulos que se construye en la etapa ?
b) ¿Cuál es la expresión que determina la longitud de la base de los triángulos que se generan en la etapa ?
c) ¿Cuál es la expresión que determina el perímetro total de los triángulos que se generan en la etapa ?
d) ¿Cuál es la expresión que determina el área de los triángulos que se generan en la etapa ?
e) ¿Qué puedes afirmar en relación al perímetro y al área del total de triángulos que se generan? Observa que los siguientes límites pueden ayudarte a elaborar tu respuesta: i) y ii) siendo y , respectivamente, el perímetro y el área total de la figura obtenida en la etapa de la sucesión.
¿Qué pasaría si se pinta de blanco cuando el número al que corresponde la celda es múltiplo de un número concreto (3, 5, 7) o se pinta de negro cuando no es múltiplo? ¿Qué pasaría si pintamos los números primos del triángulo de Pascal?
