Hyperbola - řídící a vrcholová kružnice
Věta: (Řídící kružnice hyperboly) Množina bodů souměrných s jedním ohniskem hyperboly podle všech jejích tečen leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a s poloměrem rovným velikosti hlavní osy hyperboly (tj. 2a). Tuto kružnici nazýváme řídící kružnicí hyperboly.
Hyperbola má dvě řídící kružnice, se středy v obou jejích ohniscích, viz výše uvedený obrázek, kružnice , .
Množina bodů uvedené vlastnosti není s řídící kružnicí totožná. Na každé z řídících kružnic totiž existují dva body, které nemohou být obrazem příslušného ohniska v osové souměrnosti podle žádné z tečen hyperboly, viz obrázek, body , na a , na . Tyto body jsou totiž obrazy ohnisek v osových souměrnostech podle asymptot, které jako tečny neuvažujeme.
Věta: (Vrcholová kružnice hyperboly) Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly na všechny její tečny leží na kružnici opsané kolem středu hyperboly s poloměrem rovným délce hlavní poloosy (tj. a). Tuto kružnici nazýváme vrcholovou kružnicí hyperboly (prochází vrcholy hyperboly), viz kružnice na obrázku.
Ani tato kružnice není s příslušnou množinou bodů dané vlastnosti identická. I na ní leží body, které nemohou být patami žádných kolmic spuštěných z ohnisek na tečny hyperboly, viz body , , , na obrázku. Jedná se o průsečíky vrcholové kružnice s asymptotami hyperboly.