Ecuaciones del plano

La siguiente actividad corresponde al tema de "Ecuaciones del plano" de la unidad 4 del curso de Geometría Analítica 1. Si quieres consultar la explicación que es ocupada en esta actividad, puedes acceder al siguiente material:

• Video: Ecuaciones del plano en el espacio.
• Notas: Ecuaciones del plano en el espacio.

Sean y dos vectores en el espacio y un punto cualquiera. Podemos caracterizar a un plano como aquel que pasa por el punto y es paralelo al plano generado por los vectores y , por ende, su ecuación es , con , a la cual llamamos ecuación paramétrica del plano. Juega cambiando de posición los vectores y el punto . ¿Qué pasa cuándo está en el origen? ¿Qué pasa cuando y son linealmente dependientes?

Otra forma de caracterizar a un plano en el espacio es conocer tres puntos y que estén en él. Observemos que los vectores y son paralelos al plano, entonces la ecuación paramétrica que resulta es . Esta es la ecuación de un plano que pasa por tres puntos.  A continuación se muestra la gráfica de dicha ecuación. Juega cambiando de posición los puntos y .

Retomemos la ecuación paramétrica del plano, la cual es , que para fines mas prácticas la escribiremos como . Recordemos que el vector es ortogonal a los vectores y , es decir, y . A continuación se muestra cómo se ve el producto de dos vectores.

Calculando el producto punto por el vector en ambos lados de la ecuación paramétrica y tomando en cuenta las anteriores observaciones, obtenemos el siguiente desarrollo:

,

entonces obtenemos como resultado la expresión . Si suponemos que las coordenadas de los vectores de dicha expresión son , y , obtenemos que:

,

lo que nos introduce la ecuación . Finalmente, definiendo , obtenemos la ecuación , la cual es llamada ecuación general del plano. Juega variando cada parámetro de la ecuación general y cambiando de posición el vector .