2.4 La derivada como tasa de variación
Tasa de variación de una función
La tasa de variación de una función en un intervalo [a,b] nos dice cuánto cambia la función en dicho intervalo. En 1, la tasa de variación de la función en el intervalo [1,5] es 2.
Ambas funciones crecen lo mismo, pero el intervalo que le lleva a la primera alcanzar esa variación es de 4 unidades (el intervalo [1,5] "mide" 4 unidades), mientras que la segunda alcanza esa variación en tan solo 2 (ya que el intervalo [1,3] "mide" 2 unidades).
Para caracterizar el comportamiento de la función en el intervalo podemos hacer uso de otra expresión más precisa: la tasa de variación media.
TAZA DE DERIVACIÓN MEDIA
La tasa de variación media de una función en un intervalo [a,b] nos dice cuánto cambia la función de media en dicho intervalo. Para obtenerla hay que considerar tanto el cambio que se produce en el eje y, en azul, como el cambio que se produce en el eje x, en verde.
Fórmula
EJEMPLO 1
Calcula la tasa de variación media de la función f(x) = x2 + 1 en los intervalos [–2, 0] y [0, 2], analizando el resultado obtenido y la relación con la función.
La función f(x ) = x2 + 1 corresponde a una parábola, con vértice en (0, 1) y simétrica respecto al eje Y, cuya representación gráfica es:
Solución
Gráfica
EJEMPLO 2
El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.
QUÉ ES LA TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) de una función f(x) en un punto de abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación media cuando el intervalo considerado tiende a cero.
Se representa por las expresiones:
Al igual que la T.V.M la tasa de variación instantánea, según la función y el punto a, puede ser positiva, negativa o nula. Nos indica cómo de rápidamente crece o decrece la función en un determinado punto. Es un número real.
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esta pendiente es la tangente del ángulo α de dicha recta tangente.
EJEMPLO 1
Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (en meses) viene dada por:
CALCULE
a) La tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
b) La tasa de variación instantánea en t = 4, comparándola con la última tasa de variación obtenida. Justifica los resultados obtenidos.
a) Las tasas de variación son:
b) La tasa de variación instantánea en t = 4 es la derivada de f en dicho punto.
PREGUNTAS A CERCA DE LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACIÓN
RESPONDA A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS PLANTEADAS
¿Cuál es la tasa de variación media de f(x) = x3 en [0,1]?
Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.
a) f(x ) = 4x + 3 en [–1, 4] b) f(x ) = 2 + x2 en [–2, 2] c) f(x ) = en [2, 5]
Cuál es la tasa de variación media de f(x) = x3 - 2x en [0,1]?
Dada la función f(x) = -5x + 4x - 1,
Cuál es la tasa de variación instantánea de f en x = -1?
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) de una función f(x) en un punto de abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación media cuando el intervalo considerado tiende a cero.