Fibonacci Dizisi Üzerine Kombinasyon Hesapları
Orta çağda yaşamış olan ünlü matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından bir problem durumu üzerinden tanımlanan Fibonacci dizisi; ifade edildikten sonra giderek bilinirliği artan önemli bir dizidir.
Bu yazıda dizinin elemanlarıyla kurulan kombinatoryal bir teoremin kanıtını yapacağız.
Teorem: , Fibonacci dizisi olsun. yani ve her için
olsun.
olur. Kanıt: Önce yerine birkaç değer yazıp, arttıkça ilerleyiş hakkında fikir sahibi olmaya çalışalım: ise, ise, ise, ise, ise, ise, ise, ise, n arttıkça algoritmik bir ilerleme olduğu için kanıt için tümevarım metodunu kullanalım. Önce başlangıç adımı: ve için eşitlikler geçerlidir. Şimdi tümevarım adımı: ve iken, mi acaba? Bu sorunun cevabını bulmalıyız. Listenin ilerleyişi dikkate alındığında; yukarıdan aşağıya doğru toplamlara bakıldığında oluşan, Pascal eşitliklerine dikkat edelim. Örneğin, Bu şekilde devam edildiğinde her adımda toplamların bir sonraki Fibonacci sayısına ulaşıldığı görülüyor. Şimdi aritmetik olarak yaptığımız işlemi cebirsel forma uygulayıp tümevarım adımının doğru olduğunu gösterelim. ifadesini olarak ve ifadesini olarak yazalım. Dönüştürdüğümüz ifadeleri toplayalım: [Pascal Eşitliği] Toplamı devam ettirelim: için olduğundan üst sınır ile değiştirilebilir. Olur kanıt tamamlanmıştır. Bu yazının konusu Ali Nesin'in "Sayma" isimli kitabında bulunan okuyucuya yöneltilen problemlerden alınmıştır. (Syf. 61 Alıştırma 4.16)Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni