Teoría local y global de curvas.
Curvas diferenciables, traza y parametrización. Logitud y longitud de arco. Curvatura y torsión. Curvatura total.
Teoría local de curvas
Llamamos curva parametrizada a una función de un intervalo en ,
Naturalmente que se especifica por las tres funciones , es decir, .
Se llama traza de la curva al recorrido o imagen de es decir,
Es usual confundir "curva parametrizada" con "traza", pero realmente no son el mismo concepto. La traza es un conjunto de , la curva parametrizada es una función cuyo imagen es la traza.
Una reparametrización de una curva parametrizada, implica recorrer la traza de otra "manera" a la dada originalmente. Concretamente, si,
es con , es decir, estríctamente creciente si o estríctamente decreciente si , entonces,
es una reparametrización de .
Note que en las condiciones anteriores es una función invertible con inversa , .
Ejemplo. La curva dada por,
es una curva parametrizada que comienza en el punto cuando y termina en el mismo punto cuando . Considere la función,
dada por, . La curva es una reparametrización de , tiene por tanto la misma traza, pero es recorrida en sentido opuesto. Si en vez reparametrizamos a con,
dada por , el resultado, tiene la misma traza, no hay un cambio en la dirección en que se recorre, pero se transita al doble de la velocidad de la curva inicial.
Cambiar la parametización es cambiar la velocidad a la que la curva es recorrida, y ocasionalmente, cambiar también la dirección.
Al parámetro de la curva (cualquiera sea la letra con la que se denote) se le llama a menudo "tiempo" aunque corresponda o no a un tiempo físico.
El movimiento de partículas puntuales en el espacio está descrito por una curva parametrizada que usualmente (en la literatura de Física) se denota como, , es decir con un signo de vector superior. La ecuación de Newton es una ecuación que determina la trayectoria de la partícula,
Aquí, es la aceleración de la partícula. La velocidad es la derivada primera de la posición es decir .
Logitud de arco.
La longitud de una curva parametrizada se determina por la fórmula,
Esta fórmula, que se deduce de un proceso aproximativo por poligonales, es invariante por reparametrizaciones. En cierto sentido es una medida de la extensión de la traza. De hecho, si,
es una reparametrización, entonces, por la regla de la cadena,
por lo que,
de donde deducimos que,
donde en el último paso usamos el teorema de cambio de variable bajo el signo de integración.
La fórmula para la longitud nos permite definir la función longitud,
donde es igual a la longitud de entre y . Es decir,
Observamos que, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos,
De aquí que si para todo , es decir si la velocidad de no es cero, entonces, para todo . Por lo tanto la función es estríctamente creciente y tiene inversa que denotamos como . Por supuesto tenemos,
Podemos usar entonces a como una reparametrización de la curva. La virtud de dicha reparametrización es que recorre a la curva con velocidad igual a . Este se desprende de,
Curvatura y torsión.
De ahora en más asumimos que la velocidad de la curva con la que estamos trabajando no es nunca cero y está parametrizada por la longitud de arco, es decir .
Denotemos como al vector velocidad de la curva. De la sección anterior sabemos que tiene módulo igual a uno. Por lo tanto,
para todo . Derivando esta expresión nuevamente tenemos,
y de aquí que el producto interno entre y , es decir, entre la velocidad y la aceleración, es igual a cero. La velocidad y la aceleración son por lo tanto perpendiculares.
Definimos la curvatura de la curva en el punto como el módulo de la aceleración, es decir,
Por ejemplo, la curva,
parametriza la circunsferencia de centro el origen y radio uno. La velocidad es,
,
y la aceleración es,
Claramente la aceleración y la velocidad son perpendiculares. Además la aceleración apunta hacia el centro de la circunsferencia (el origen), y tiene módulo igual a . La curvatura es por lo tanto constante e igual a . Cuanto más pequeño es el radio más grande el la curvatura de la curva.
Supongamos ahora que la curvatura no es cero en ningún punto de la curva. Definimos entonces el vector normal como,
Es decir . El vector normal es un vector unitario (de módulo uno) y perpendicular al vector velocidad, por lo tanto perpendicular a la curva. Observe nuevamente que para que esté bien definido la curvatura en no puede ser cero, algo que asumimos al inicio.
En estas condiciones, definimos el vector binormal como es decir, como el producto vectorial entre y . El vector binormal es también unitario. La base es ortonormal y se conoce como el triedro de Frenet.
El siguiente ejemplo muestra el triedro de Frenet a lo largo de una curva particular.
Para simplificar la notación, a veces se omite la dependencia en de los vectores del triedro, es decir se escribe por ejemplo en vez de . Usamos esa notación en la líneas debajo.
Calculemos la derivada del vector binormal. Tenemos,
Ahora, por lo que ya que el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero. Por otro lado como es un vector unitario, es decir de norma o módulo uno, para todo , su derivada es perpendicular a sí mismo. De aquí que es una combinación lineal de y . Escribimos por lo tanto,
para ciertos coeficientes y que naturalmente dependen de .
Por lo tanto,
ya que . El coeficiente se denomina torsión.
Finalmente calculamos la derivada de notando que . Por lo tanto,
Las fórmulas,
se conocen como las fórmulas de Frenet-Serret. Usadas recursivamente permiten calcular cualquier número de derivadas de dichos vectores en términos de la curvatura, la torsión y de sus derivadas.
Podemos usar estas ecuaciones para calcular el desarrollo de Taylor de una curva alrededor de un punto, en términos de la longitud de arco calculada desde ese punto. Veamos esto y saquemos algunas conclusiones.
Consideremos una curva parametrizada por longitud de arco . El desarrollo de Taylor a orden tres de en es,
(1)
Ahora calculamos,
Reemplazando estas fórmulas en (1) y reagrupando los términos tenemos,
La componente en la dirección de la binormal en , , es de orden tres. Es decir que a orden dos la curva se mueve en el plano formado por y . Ese plano se denomina plano osculador. Este fenómeno donde la curva permanece en el plano osculador a orden dos puede apreciarse en la simulación anterior, e inspeccionando la ubicación de la curva en relación a dicho plano.
Un simple argumento usando el desarrollo de Taylor y que dejamos como ejercicio muestra que la circunsferencia en el plano osculador, de centro y radio aproxima a la curva en un entorno de hasta orden dos. En otras palabras, a orden dos, toda curva con es localmente aproximada por una circunsferencia. Dicha cirumsferencia se denomina circunsferencia osculatriz.
Para terminar esta sección, observemos una fórmula para el cálculo de la torsión. Sabemos que la curvatura se calcula como . La torsión puede calcularse en términos de las primeras tres derivadas de del siguiente modo,
donde es el producto mixto entre y , esto es .
Para probar esta fórmula hacemos el siguiente cálculo,
donde usamos que y por lo tanto perpendicular a y .