Medidas indirectas: ¿Cómo medir la altura de un árbol sin treparlo?
Información general.
Planteamiento del problema:
Supongamos que por alguna razón se desea medir la altura de un árbol (por ejemplo, para estimar el volumen de madera que se puede aprovechar al talar el árbol). Sin embargo, el árbol es demasiado alto y es peligroso escalarlo para medirlo.
Solución al problema.
Supongamos que Juanito se encuentra a una distancia del árbol. A las posiciones donde se encuentran Juanito y el árbol les llamaremos y , respectivamente. Además, el punto donde se encuentra el ojo de Juanito será llamado y el punto del ápice del árbol será . Sean el punto del segmento tal que el segmento es perpendicular a , y el ángulo formado entre los segmentos y , como se muestra en la siguiente figura. Observemos que y que, suponiendo que conocemos el valor del ángulo , por la definición de función tangente obtenemos que , por lo que . Sabiendo esto, para calcular la altura del árbol sólo es necesario sumar la altura a la que se encuentran los ojos de Juanito (en este caso es ) y . Es decir, la altura del árbol está dada por , lo cual es mucho más fácil que medirlo directamente al trepar el árbol.
Ahora, el problema se reduce a ¿Cómo medir el ángulo ? Esto se soluciona fácilmente con un transportador, en el cual podemos colocar un pequeño péndulo colgando de su centro –por ejemplo, un hilo con una llave atada a un extremo– que, sin movimientos externos, apunta en dirección perpendicular al suelo. Si Juanito apunta con el transportador en dirección al ápice del árbol desde alguno de sus ojos, entonces afirmamos que al conocer la magnitud del ángulo que marca el hilo podemos calcular la magnitud del ángulo . En la siguiente imagen se muestra el bosquejo de un transportador con centro en apuntando en dirección del ápice del árbol –dirección del segmento , que une la vista de Juanito con el ápice del árbol–. Además, el segmento representa el péndulo mencionado anteriormente. Observemos que el ángulo comprendido entre y es recto, por lo que y son complementarios; es decir, . Por tanto, al ser fácilmente calculado con el transportador, podemos calcular la altura del árbol sin ningún problema.
Por lo tanto, la hartura del árbol está dada por , en donde es la distancia del árbol a Juanito, es el ángulo que marca el hilo en el transportador y es la distancia de suelo a la vista de Juanito. Es importante notar que cuando , significa que el árbol está a la misma altura de los ojos de Juanito.
En una situación real, teniendo una cinta métrica para calcular la altura y el transportador ya mencionado, se puede calcular la altura del árbol sin problemas. Además, si hacer el cálculo resulta tedioso, para optimizar el facilitar este proceso podríamos reemplazar la graduación del transportador por las correspondientes alturas, es decir, en el lugar donde debería estar marcado el ángulo podríamos escribir directamente para alguna elección de . Haciendo esto inventamos un instrumento de medición de alturas que se llama plancheta dendrométrica, que es muy usada para realizar trabajos de silvicultura.
A continuación están un transportador normal y un transportador donde las graduaciones son remplazadas por las alturas cuando Juanito se encuentra a 20 metros de distancia del árbol.