Exponentialfunktionen 3

a) Berechnen Sie für die ersten beiden Halbtage die absolute und die relative Änderung des Bestands und vergleichen Sie diese mit der absoluten und relativen Änderung des gesamten ersten Tages.

b) Sei x ein Wert in Spalte A und f(x) der zugehörige Wert in Spalte B. Interpretieren Sie den zugehörigen Wert in Spalte C. Sehen Sie sich dazu die Formeln in den Spalten A und C genau an. Wie kann man die Änderung eines ganzen Tages aus den Werten in Spalte C bestimmen?

c) Interpretieren Sie die Diagramme und die Werte in Spalte D. Kann man die Werte in Spalte D als relative Änderung pro Tag auffassen?

d) Leiten Sie einen Term für die Werte in Spalte C aus der Funktionsgleichung f(x) = 100 · 0,917^x her und berechnen Sie damit das Ergebnis in Spalte D ohne Rückgriff auf die Tabelle.

Geht man von Halbtagen zu noch kleineren Schrittweiten h (gemessen in Tagen, z.B. h = 1/4, 1/8, 1/24, ...) über, so stellen die Werte in Spalte C die mittlere Änderungsgeschwindigkeit (f(x+h) - f(x)) / h in diesem Intervall dar, gemessen in μg/Tag. a) Geben Sie nacheinander verschiedene, immer kleiner werdende Schrittweiten h in die Eingabezeile ein und beobachten und interpretieren Sie jeweils die Auswirkungen auf die Tabelle und die Diagramme.

b) Leiten Sie aus der Funktionsgleichung f(x) = 100 · 0,917^x einen Term für die Werte in Spalte D her, an dem erkennbar ist, wie diese von der Schrittweite h abhängen.

c) Sei n eine positive ganze Zahl. Ein Tag, genauer ein Zeitintervall von x bis x+1, werde in n gleichlange Abschnitte der Länge 1/n unterteilt. Die Anfangspunkte dieser Abschnitte sind also . Als mittleren Tagesbestand im Intervall [x; x+1] bezeichnen wir den arithmetischen Mittelwert . Zeigen Sie: . (Tipp: Schlagen Sie bei Bedarf die Formel für die geometrische Reihe nach.) Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachkontext.