Kurve auf Bogenlängenparmeter bezogen
Für glatte Jordan-Kurven gibt es eine ausgezeichnete Parametrisierung nach der Bogenlänge , für die die Länge des Weges genau dem Parameter t entspricht.
Beispiel
Wir betrachten die Kurve , die in Polarkoordinaten gegeben ist.
In Parameterdarstellung wird der Weg durch beschrieben und ist eine stetig differenzierbare Jordan-Darstellung mit für alle .
Die Länge l des Weges kann berechnet werden mit .
Mit und
folgt Da mit für alle ist, ist eine streng monoton wachsende Bijektion.
Nun berechnen wir die Umkehrfunktion .
Damit erhalten wir die auf Bogenlängenparameter bezogene Form des Weges γ Diese Kurve γ ist im folgenden Applet gezeichnet. Man kann sich leicht überzeugen, dass die Bogenlänge und der Parameter t übereinstimmen.
Ein weiteres Beispiel
Eine analoge Berechnung ergibt für die Kurve (logarithmische Spirale) eine auf Bogenlänge bezogene Parametrisierung.
Die Parameterdarstellung der logarithmischen Spirale lautet .
Mit beträgt die Länge l der Kurve dann
Für den Parameter s ergibt sich daher .
Die auf Bogenlängenparameter bezogene Parametrisierung ist dann
.