A háromszög köré írt kör, a tetraéder köré írt gömb
A sík három pontjára illeszkedő kör
Közismert elemi geometriai feladat, hogy miként kell megszerkeszteni a sík három pontjára illeszkedő kör középpontját, majd magát a kört. E szerkesztés azon a könnyen igazolható (??) tételen alapszik, hogy a háromszög szakaszfelező merőlegesei egy pontra illeszkednek. A (??) jelet egy szerény, de fontos kérdés teszi indokolttá.
Biztosak lehetünk abban, hogy a háromszög oldalfelező merőlegesei metszik egymást? Akkor is, ha a három pont "majdnem" egy egyenesre esik? A válasz igen, de csak akkor, ha elfogadjuk az euklideszi párhuzamossági axiómát. Erről itt - ezen belül itt - találunk bővebb információkat.
A GeoGebra eszköztárát kihasználva három pont ismeretében a 
ikonnal ill. a Kör() paranccsal egyből megadható a három pontra illeszkedő kör, abban a speciális esetben is, ha a három pont egy egyenesre illeszkedik (kollineáris), vagy közülük kettő egybeesik. Ekkor a kapott "kör" természetesen egyenessé fajul.
ikonnal ill. a Kör() paranccsal egyből megadható a három pontra illeszkedő kör, abban a speciális esetben is, ha a három pont egy egyenesre illeszkedik (kollineáris), vagy közülük kettő egybeesik. Ekkor a kapott "kör" természetesen egyenessé fajul.A tér négy pontjára illeszkedő gömb
A tér négy - nem egy síkra illeszkedő- pontjához tartozó gömb megadása a GeoGebra eszköztárával viszonylag egyszerű feladat. Az, 
, 
ikonokkal - vagy a hozzájuk tartozó parancsokkal - szerkesszük meg a tetraéder két lapja köré írt kör forgástengelyét, ezek metszéspontjaként megkapjuk a keresett gömb középpontját, ebből magát a keresett gömböt. Ellentétben a síkbeli esettel, ha a négy pont egy síkban van, akkor a rájuk illeszkedő sík nem áll elő a négy pontra illeszkedő gömb határeseteként.
Steve Phlebs ,akinek a GegoGebra anyagait figyelmébe ajánljuk érdeklődő olvasóinknak, az alábbi problémát vetette fel:
Feladat:
Vegyünk fel véletlenszerűen négy pontot az egységnyi élű kockán belül! Keressük meg a rájuk illeszkedő gömb középpontját! Adjunk becslést arra, hogy mekkora eséllyel esik e gömb középpontja is a kocka belsejébe!
Az óvatos "Adjunk becslést" kitétel természetesen nem egyenértékű a "Mennyi a valószínűsége?" kérdéssel. Az utóbbira - feltehetően- elég nehéz lenne a valószínűségszámítás eszköztárával pontos választ adni.
Most elégedjünk meg annyival amennyivel Phelps is megelégedett: a GeoGebra lehetőségeit kihasználva végezzünk el egy ezzel kapcsolatos valószínűségszámítási kísérletsorozatot.
Ennek a sorozatnak egy tagja abból a kísérletből áll, hogy a kocka belsejében véletlenszerűen felvett négy pont köré írt gömb középpontja belül van-e a kockán.
Nevezzünk kedvező esetnek egy ilyen kísérletet akkor, ha a keresett gömb középpontja is a kockán belül van! Legyen n kíséret esetén a kedvező esetek száma k. Relatív gyakoriságnak nevezzük a k/n hányadost. A kísérletsorozatunkkal azt mutatjuk meg, hogy a k/n relatív gyakoriság - n növelésével várhatóan egyre kevésbé - tér el egy a kísérlet során kialakuló számtól. Szándékosan kerültük a tart szó használatát. Ugyanis az itt leírt fogalom nem azonos a sorozat határértékének a fogalmával.
, , ikonokkal - vagy a hozzájuk tartozó parancsokkal - szerkesszük meg a tetraéder két lapja köré írt kör forgástengelyét, ezek metszéspontjaként megkapjuk a keresett gömb középpontját, ebből magát a keresett gömböt. Ellentétben a síkbeli esettel, ha a négy pont egy síkban van, akkor a rájuk illeszkedő sík nem áll elő a négy pontra illeszkedő gömb határeseteként.
Steve Phlebs ,akinek a GegoGebra anyagait figyelmébe ajánljuk érdeklődő olvasóinknak, az alábbi problémát vetette fel:
Feladat:
Vegyünk fel véletlenszerűen négy pontot az egységnyi élű kockán belül! Keressük meg a rájuk illeszkedő gömb középpontját! Adjunk becslést arra, hogy mekkora eséllyel esik e gömb középpontja is a kocka belsejébe!
Az óvatos "Adjunk becslést" kitétel természetesen nem egyenértékű a "Mennyi a valószínűsége?" kérdéssel. Az utóbbira - feltehetően- elég nehéz lenne a valószínűségszámítás eszköztárával pontos választ adni.
Most elégedjünk meg annyival amennyivel Phelps is megelégedett: a GeoGebra lehetőségeit kihasználva végezzünk el egy ezzel kapcsolatos valószínűségszámítási kísérletsorozatot.
Ennek a sorozatnak egy tagja abból a kísérletből áll, hogy a kocka belsejében véletlenszerűen felvett négy pont köré írt gömb középpontja belül van-e a kockán.
Nevezzünk kedvező esetnek egy ilyen kísérletet akkor, ha a keresett gömb középpontja is a kockán belül van! Legyen n kíséret esetén a kedvező esetek száma k. Relatív gyakoriságnak nevezzük a k/n hányadost. A kísérletsorozatunkkal azt mutatjuk meg, hogy a k/n relatív gyakoriság - n növelésével várhatóan egyre kevésbé - tér el egy a kísérlet során kialakuló számtól. Szándékosan kerültük a tart szó használatát. Ugyanis az itt leírt fogalom nem azonos a sorozat határértékének a fogalmával. Egy valószínűségszámítási kísérlet:
A kísérlet eredménye
n=21500 kísérlet után (amely órákig is eltarthat) a k/n relatív gyakoriság 0.623 körüli szám lesz.
Aki nem hiszi, járjon utána. :-)